La formula di Eulero

La formula di Eulero

A cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 09/09/2006)

Pubblicato su Matematicamente.it Magazine n. 1, gennaio 2007

La prima volta che ci si imbatte nella formula di Eulero non si può fare a meno di rimanere

scioccati, oltre che un po’ increduli, di fronte al mistero che la sua semplicità racchiude in così

pochi simboli. Numeri che provengono da contesti della matematica completamente diversi

incrociano i loro destini in un’uguaglianza che più semplice non si poteva:

e^iπ + 1 = 0

Di fronte a quella che dalla maggior parte dei matematici è considerata “La” formula più bella

della matematica, l’eminente professore, proprio come il suo allievo, trova una difficoltà

insormontabile nel tentare di percepirne fino a fondo il significato, e non può che arrendersi nel

constatare una profondità più grande di lui. Come mai le due costanti e e π, provenienti da differenti

ambiti della matematica, sono legate tramite il numero immaginario i in un modo così bizzarro?

Talvolta capita che gli studenti siano addirittura tentati di “rifiutare” l’esistenza dei numeri

immaginari, in quanto lontani dalla realtà e apparentemente artificiosi, eppure mai come in questo

caso entità così astratte si rivelano intimamente legate ai più elementari dei numeri naturali: l’uno e

lo zero.

Si dice che Gauss, forse il più grande e prolifico matematico di tutti i tempi, un giorno abbia

ironicamente commentato che, se ad una persona la formula non appare immediatamente ovvia,

questi non potrà mai essere un grande matematico! In effetti la dimostrazione è relativamente

semplice per chi abbia un minimo di dimestichezza con i numeri complessi e il calcolo integrale...

Anche dopo averla accettata, però, la dimostrazione non darà mai la soddisfazione di svelare

completamente il profondo segreto che la formula sembra nascondere in sé.

Richard P. Feynman, fisico americano premio Nobel nel 1965 per i suoi studi

sull’elettrodinamica quantistica, fu uno dei primi ad eleggerla “formula più bella di tutti i tempi”,

quando all’età di 13 anni la inserì con tale appellativo nel suo quaderno di liceale. E come dargli

torto? La prima cosa che si nota è che compaiono, una dopo l’altra, come in rassegna, tutte le entità

fondamentali della matematica: la costante di Nepero (e = 2,7182818...), il valore di pi greco (π =

3,14159265...), l’unità immaginaria i (radice quadrata di –1), il numero 1 (elemento neutro per la

moltiplicazione) e il numero 0 (elemento neutro per la somma). Anche dal punto di vista storico, i

concetti che vengono evocati spaziano attraverso le epoche e i luoghi che hanno fatto la storia della

matematica: si pensi al periodo aureo della geometria greca (costante π), agli influssi della

matematica indiana, che introdusse il concetto di zero, al dibattito rinascimentale italiano fra

Tartaglia e Cardano relativamente alla risoluzione delle equazioni di terzo grado (unità immaginaria

i), per poi passare alla nascita dei logaritmi ai tempi di Nepero (costante e), e infine al numero 1,

onnipresente in tutte le culture e in tutti i tempi. Com’è possibile che queste entità fondamentali e

apparentemente lontane tra loro possano intrecciarsi elegantemente a formare un tutt’uno di così

pregevole armonia? Che cosa ci può essere di più mistico di un numero immaginario che interagisce

con costanti reali per produrre il niente?

Prima di vedere una pseudodimostrazione

Prima di vedere una pseudodimostrazione della formula di Eulero, è interessante farsi un’idea del

settore della matematica da cui è scaturito lo stupefacente risultato: la rappresentazione sul piano

cartesiano dei numeri complessi e la loro interazione con l’analisi matematica. Sul piano che viene

comunemente detto di Argand-Gauss è possibile rappresentare un qualsiasi numero complesso a + i

b proprio come se fosse un vettore che, a partire dall’origine degli assi, raggiunge il punto (a, b) del

piano. Le proprietà di questa rappresentazione sono notevoli, e vengono comunemente utilizzate.