La formula di Eulero: storia e significato matematico

Una formula magica

Silvio Maracchia

π = −

i

e 1

Una formula magica

Silvio Maracchia

Sunto: Con il concorso di varie civiltà, lontane nello spazio e nel tempo, si è giunti ad una formula che sembra riassumere lo sforzo matematico dell'uomo attraverso i secoli e il continuo progredire della disciplina.

Parole chiave: Eulero; Archimede; Bombelli; Pi greco; Numero negativo; Numero immaginario; Logaritmo. i = -1

Anni or sono lessi che all'ingresso del Palais de la Découverte di Parigi è scolpita la formula e come esempio di sintesi scientifica e storica della Matematica. Da allora ho sempre avuto il desiderio di svolgere tale argomento mostrando appunto la fantastica sintesi storica della formula.

Di per se stessa essa non è che un caso particolare della fondamentale formula di Eulero:

x+iy x

= e (cos y + i seny) per x = 0 y=π

e

di grande importanza nell’analisi infinitesimale e che qualsiasi studente del primo biennio di matematica, fisica o ingegneria conosce bene; ma ciò che in essa vi è di singolare è che ogni suo simbolo rappresenta un diverso e fondamentale momento della storia della matematica; anzi, più ancora, ogni suo simbolo si può addirittura considerare come rappresentante di quel certo momento storico. È come se, in altre parole, in essa vi fossero concentrati gli sforzi e, bisogna dire, i successi, dei più grandi ingegni conosciuti e sconosciuti della matematica, lungo un arco di non meno di quattromila anni! A buon ragione, quindi, si può parlare di magia e prendere la formula in questione a simbolo della Matematica stessa.

Ma esaminiamo ora, uno per uno e in ordine cronologico, i vari simboli che compongono la formula.

Pi greco

[π]

Con questa lettera greca (pi greco) si è indicato, da un certo momento in poi, il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro. A solo titolo di curiosità dirò che si usò il simbolo per esprimere il detto rapporto nel XVII secolo e precisamente nelle opere di Oughtred e Isacco Barrow, probabilmente dall’iniziale della parola greca “periferia” oppure “perimetro”. Tale simbolo divenne però di uso generale solo dopo la pubblicazione dell’Analisi di Eulero.

I più antichi matematici delle più antiche civiltà, hanno cercato di conoscere questo numero o di approssimarlo nel migliore dei modi: i Sumeri, il più antico popolo civile sino ad oggi conosciuto, attribuivano, ad esempio, ad esso il valore 3, gli Egiziani, 3,16049, calcolando: 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 e i Babilonesi 3,125… Nella stessa Bibbia si considera π approssimato con 3; come nel Talmud in cui è scritto “Ciò che ha tre palmi di giro è largo un palmo” e come presso i Cinesi che però ottennero anche 3,154. Gli Indiani infine con 3,0883… .

È però gloria imperitura della matematica greca l’aver anzitutto dimostrato la costanza del rapporto tra circonferenza e diametro (Euclide, Elementi XII, 2) e poi, con Archimede (287-212 a.C.), aver approssimato π con il valore che noi tuttora usiamo: 3,14 (Archimede infatti, ne La misura del cerchio, usando poligoni inscritti e circoscritti di 96 lati, stabilì che π è compreso tra 3 + 10/71 e 3 + 1/7 cioè tra 3,140... e 3,142...) e con Tolomeo (circa 150 d. C.) che trovò π = 3,1416. 2 (9)

Archimede dimostrò, per la superficie del cerchio, la formula S=πr² applicando in questa, come in altre sue dimostrazioni, concetti di infinito, infinitesimo e cioè di limite che solo molti secoli dopo dovevano trovare esatta sistemazione.

La matematica greca, da Pitagora in poi, conosceva già le grandezze incommensurabili e cioè quelle grandezze, come ad esempio il lato e la diagonale di uno stesso quadrato, che non possono essere misurate esattamente da una medesima sottomultipla per quanto piccola possa essere e che non può ottenersi come quoziente di due numeri interi, quale ad esempio √2. Così anche π sembrò numero irrazionale, però, poiché dato un segmento di lunghezza unitaria, è sempre possibile costruirne, con la sola riga e compasso, un altro di lunghezza √2 (basta pensare infatti alla diagonale del quadrato di lato unitario), i matematici greci si domandarono se sarebbe stato ugualmente possibile, dato un segmento unitario, costruirne un altro di misura π.

In altre parole, assunto un segmento quale diametro, è possibile costruire esattamente, con la sola riga e compasso, un altro segmento lungo come la circonferenza corrispondente?

Il problema, uno dei tre grandi problemi della geometria greca (11), è il medesimo di quello che va sotto il nome di “quadratura del cerchio” che consiste nel costruire con sola riga e compasso un quadrato equivalente ad un cerchio di dato diametro e che, per la sua risoluzione, stimolò lo studio della geometria, contribuendo quindi ad un suo notevole progresso.

1 Cfr. Ettore Bortolotti: Storia della matematica elementare in Enciclopedia delle matematiche elementari Vol. 3 parte 2 pag. 555.

2 Problema n. 50 del Papiro Rhind; cfr. E. Bortolotti op. cit. pag. 551; cfr. anche I. Ghersi op. cit. pag. 499.

3 Cfr. Joseph Needham, Scienza e civiltà in Cina, Einaudi, Torino, vol. 3°, 1985, p. 125.

4 I Re I, VII-23 o anche Cronache II, IV-2.

5 Cfr. I. Ghersi op. cit. pag. 499.

6 √10, Cfr. J. Needham, op. cit. p. 126 (si trovano anche altri valori: 92/29 ecc.)

7 Nel libro Sulva-Sutras in cui sono descritti metodi per costruzioni di altari (500-200 a. C.). Cfr. E. Bortolotti op. cit. pag. 548. Cfr. inoltre: Dizionario Bompiani delle opere, alla voce “Kalpasūtra” Vol. 4 pag. 193. Cfr. anche I. Ghersi op. cit. pag. 503.

8 Cfr. P. J. Davis op. cit. pag. 75. Si noti che π = 3,14159265… Per altre notizie di carattere storico e specialmente per i metodi usati per il calcolo dei valori di π riportati, cfr. I. Ghersi op. cit. pag. 499 e segg.

9 Cfr. Archimede, La misura del cerchio, prop. 1.

10 Cfr. a questo proposito Enrico Rufini: Il metodo di Archimede e le origini del calcolo infinitesimale nell’antichità (Feltrinelli 1961).

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 1

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

Una formula magica Silvio Maracchia

equivalente ad un cerchio di dato diametro e che, per la sua risoluzione, stimolò lo studio della geometria, contribuendo quindi ad un suo notevole progresso.

A questo punto dirò, anche senza addentrarmi in questo argomento che porterebbe ben presto a considerazioni non molto facili, come ogni problema che la matematica greca enunciò senza riuscire a risolvere, si rivelò irresolubile: così si dimostrò l’impossibilità di costruire con la sola riga e compasso un segmento lungo π, dato che π non è solo un numero irrazionale, ma addirittura “trascendente”, ma questo avvenne solo nel 1882 con il famoso teorema di Lindemann!

Ricordiamo che un problema risolubile con riga e compasso si traduce, algebricamente, in certe particolari equazioni le cui soluzioni sono appunto quei valori che si vogliono costruire; ebbene un numero si dice “trascendente” quando non si può ottenere come soluzione di alcuna equazione algebrica (del tipo suddetto ma anche di tipo molto più generale) cosicché è vano tentare di ottenere con riga e compasso la costruzione di qualsiasi numero trascendente.

Per concludere, si può affermare che buona parte della matematica greca si interessò del numero π, sia dal punto di vista aritmetico che geometrico: basta pensare, ad esempio, che, oltre agli stimoli concettuali del problema della quadratura del cerchio, proprio in base a π si possono calcolare, oltre alla lunghezza della circonferenza e all’area del cerchio, la superficie dell’ellisse, superficie e volume della sfera, del cilindro e del cono; come dire le misure di tutte le figure rotonde della geometria piana e solida. [-1]

Come si vedrà anche quando parlerò del numero “i”, le varie estensioni del concetto di numero appaiono un po’ come l’eterna lotta tra la spada e la corazza cioè tra l’offesa e la difesa. Come infatti, man mano che le armi diventano sempre più micidiali, le corazze diventano sempre più impenetrabili (si pensi, ad esempio, ai modernissimi rifugi atomici); così, man mano che lo studio diventa più profondo, man mano che i problemi di una vita civile, sempre più complessa, esigono risoluzioni che però non rientrano nei numeri conosciuti, i matematici si trovano costretti a creare nuovi tipi di numeri, i quali non solo permettono la soluzione dei problemi posti con facile sintesi, ma, a loro volta, portano a nuovi problemi (come esprimere matematicamente, ad esempio, e nella maniera migliore, la divisione di un numero con un altro non suo sottomultiplo, se non con la creazione delle frazioni?).