Sistemi: {(kx-4ky=-1),(kx-k^2x=0):} sistema parametrico, discuti al variare di k

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  

 kx 4 ky 1

  

2

 kx k x 0

2. Svolgimento a cura di Francesca Ricci

Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali

valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer.

Per prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti in funzioni di k:

   1

kx 4ky

  

 

2

x k k 0

 4k

k    

 

    4k      

2 2 2 3

D k 0 k k 4k k k 4k 4k

 2

k k 0

Poniamo il determinante uguale a zero e risolviamo l’equazione in funzione di k:

 

2 3

4k 4k 0

 

 

2

4k 1 k 0

  

2

4k 0 k 0

   

1 k 0 k 1

Per verificare se il sistema è indeterminato o impossibile, troviamo i determinanti delle incognite

considerando k 0 e k 1:

 

1 4k  

  1   4k  

D 0 0 0

x 0 0

 

1

k  

 

    1    

2 2

D k 0 k k k k



y 2

k k 0

Le soluzioni del sistema saranno quindi:  

 

D 2

k k k 1 k 1

D 0 y

   

   e

x y

x 0  

 

 2 3 2

2 3 D 4k 4k 4k 1 k 4k

D 4k 4k

 1

con k 0 k

Nel caso in cui k sia uguale a zero, il sistema sarebbe così:



      1

0 x 4 0 y

   

 

2

x 0 0 0



  1

0

 

0 0



Il sistema è quindi impossibile per k=0.

Consideriamo il caso in cui k sia uguale a 1:

      1

1 x 4 1 y

  

1 

2

x 1 0



   1

x 4 y

 

0 0



Il sistema è indeterminato per k=1.