Isometrie, similitudini e numeri complessi: collegamenti tra algebra e geometria per la classe quinta di liceo scientifico PNI

Università degli Studi di Pisa

Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

Indirizzo Fisico-Informatico-Matematico

V ciclo

II anno

Isometrie e similitudini con i numeri complessi

Specializzando

Francesco Daddi

Anno Accademico 2004/2005

Indice

Introduzione pag. 3

Prerequisiti pag. 3

Obiettivi pag. 4

Traslazioni pag. 5

Rotazioni pag. 6

Rotazioni con centro diverso dall’origine pag. 8

Composizione di rotazioni pag. 10

Simmetrie assiali pag. 12

O

Simmetrie assiali rispetto a rette non passanti per O pag. 15

Simmetria rispetto ad una retta dati due punti pag. 18

Glissoriflessioni pag. 19

Composizione di simmetrie assiali pag. 22

Traslazioni come composizione di due simmetrie assiali pag. 23

Composizione di una rotazione e di una simmetria pag. 25

Isometrie che fanno corrispondere coppie di punti pag. 25

Omotetie pag. 28

Composizione di due omotetie pag. 30

O

Rotoomotetie di centro O pag. 31

Rotomotetie pag. 33

Similitudini e coppie di punti pag. 34

Affinità e numeri complessi pag. 36

Verifica scritta proposta pag. 38

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Introduzione

Proporrei questa unità didattica in una classe quinta liceo scientifico ad indirizzo PNI e la collocherei dopo aver introdotto le trasformazioni geometriche (e mi riferisco alle isometrie e alle similitudini, che solitamente vengono affrontate in quarta), affrontate con l’utilizzo delle matrici, ed i numeri complessi; per quanto riguarda questi ultimi suppongo di aver introdotto l’esponenziale complesso, di cui si farà un largo uso nel seguito.

Ipotizzo inoltre di aver introdotto i numeri complessi senza aver dato troppa importanza all’interpretazione geometrica delle operazioni algebriche (è uno dei miei obiettivi principali da raggiungere), ma solo sulla loro rappresentazione nel piano di Gauss.

Personalmente ritengo molto utile questo argomento perché i ragazzi hanno l’opportunità di constatare come la matematica non sia una disciplina a compartimenti stagni, ma anzi sia tutt’altro: è positivo quindi fare più collegamenti possibili tra gli aspetti algebrici da una parte e quelli geometrici dall’altra.

Troppo spesso, infatti, nelle scuole medie superiori i ragazzi non si appassionano alla Matematica e una delle principali cause può essere ricercata nell’assenza (a volte ingiustificata) di collegamenti tra le diverse aree della disciplina. Una presentazione ”unificata” avrebbe l’effetto non solo di aiutare gli studenti a comprendere meglio ciò che viene loro presentato, ma stimolerebbe forse anche lo stesso insegnante a cercare legami, connessioni tra più temi per analizzare le relazioni che si stabiliscono fra di essi.

Prerequisiti

Per quanto riguarda le trasformazioni geometriche:

• Saper scrivere, mediante l’uso del calcolo vettoriale (utilizzando quindi le matrici), l’equazione di una traslazione, di una rotazione, di una simmetria, di una glissoriflessione, di un’omotetia, di una similitudine;
• Saper comporre due generiche trasformazioni affini (e quindi in particolare quelle elencate al punto precedente) con l’uso delle matrici;
• Saper scomporre una trasformazione assegnata;
• Saper interpretare, da un punto di vista geometrico, i risultati algebrici.

Per quanto riguarda i numeri complessi:

• Saper rappresentare un numero complesso in forma algebrica e in forma geometrica;
• Conoscere le proprietà dell’esponenziale complesso e saper rappresentare un numero complesso in forma polare (z = ρe^iϕ); 3
• Saper eseguire le operazioni fondamentali con numeri complessi, con particolare riguardo all’esponenziale complesso;
• Saper semplificare espressioni algebriche con numeri complessi.

Si noti che non è necessario che i ragazzi sappiano calcolare le radici n-esime di un numero complesso.

Obiettivi

• Saper individuare il corrispondente significato geometrico di ogni operazione algebrica fra numeri complessi;
• Saper scrivere con i numeri complessi le equazioni di traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali, glissoriflessioni, omotetie e rotoomotetie;
• Essere in grado di ricavare algebricamente, e di saper interpretare geometricamente, mediante l’uso dei numeri complessi, la composizione di due trasformazioni.

L’obiettivo principale è quello di riflettere sulle proprietà geometriche dei numeri complessi, riesaminando le trasformazioni affini principali (le isometrie e le similitudini), cercando di mettere in luce come le proprietà algebriche trovino ”riscontro” proprio in quelle geometriche.

Ovviamente non si tratta di un argomento semplice da esporre in un liceo scientifico, ma credo che la difficoltà sia principalmente nella prima fase, dove i ragazzi troveranno maggiori ostacoli alla comprensione di ciò che viene spiegato.

C’è da prestare molta attenzione al fatto che in questo argomento c’è un continuo passaggio dal lato algebrico a quello geometrico e viceversa; da non sottovalutare inoltre la (inevitabile) confusione che si può creare parlando allo stesso tempo di punti e di numeri complessi; è però interessante mostrare come sia possibile, grazie proprio ad un opportuno utilizzo dei numeri complessi, semplificare molte situazioni geometriche.

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Traslazioni

È conveniente introdurre l’argomento dalle trasformazioni più semplici, ovvero le traslazioni; l’equazione di una traslazione di vettore (x₀; y₀) è

x → x + x₀

y → y + y₀ (1)

Fissiamo un numero complesso z₀ = 2 + i; sommiamo questo numero complesso ad alcuni numeri complessi:

(2 + i) + (1 + 3i) = 3 + 4i; (2 + i) + (3 − 2i) = 5 − i

Si fa notare agli studenti che, confrontando le parti reale e immaginaria rispettivamente con le coordinate x e y, si ottiene lo stesso risultato sommando i seguenti vettori:

1 + 2 = 3 e 2 + 3 = 5

−2 − 1 = −3

3 + 1 = 4

La somma di due numeri complessi può essere allora interpretata geometricamente (si veda la figura 1) con la regola del parallelogrammo (e questa proprietà dovrebbe già essere loro nota).

Figura 1: Traslazione nel piano complesso

In definitiva, possiamo riscrivere la (1) con i numeri complessi:

z → z + z₀; (2)

In generale, dato il generico numero complesso z₀ = a + ib si ha:

x + iy → (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b).

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Osservazione 1. La trasformazione inversa della (2) ha come equazione

z → z − z₀. (3)

Rotazioni

Le traslazioni sono forse troppo ”semplici” per poter comprendere bene le idee di fondo ed è allora opportuno continuare lo studio delle trasformazioni, soffermandoci sulle rotazioni.

Consideriamo ora il numero i e moltiplichiamolo per alcuni numeri complessi:

(1 + 0i) · i = i; (−1 + i) · i = −1 − i; (−i) · i = 1;

analizzando la situazione nel piano complesso si trova (si veda la figura 2) che i numeri complessi vengono ruotati attorno all’origine di un angolo pari a 90° in senso antiorario.

Figura 2: Effetto della moltiplicazione per il numero i

Dopo aver presentato dei casi particolari, studiamo ora la moltiplicazione di un generico numero complesso z = x + iy per i:

z · i = (x + iy) · i = −y + ix. (4)

Scriviamo ora l’equazione della rotazione con centro l’origine e angolo pari a 90°:

x′ = x cos(π/2) − y sin(π/2) = −y

y′ = x sin(π/2) + y cos(π/2) = x (5)

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Il risultato che si ottiene in questo modo coincide con la (4) perché, come visto per le traslazioni, dobbiamo confrontare le parti reale e immaginaria della (4) con (rispettivamente) la prima e seconda coordinata della (5).

Se ricorriamo ora alla forma trigonometrica di un numero complesso,

z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe^iθ

possiamo scrivere i come e^iπ/2 e la moltiplicazione risulterà essere uguale a

e^iπ/2 · z = e^iπ/2 · ρe^iθ = ρe^i(π/2+θ)

da cui deduciamo che il modulo di z non cambia e che la fase viene aumentata di π/2 rad:

O

tutto ciò corrisponde proprio alla rotazione attorno ad O di 90° in senso antiorario.

A questo punto, anziché moltiplicare per il numero i, moltiplichiamo un generico numero complesso z per un numero complesso z₀ avente norma uguale a 1 (z₀ = e^iθ):

z · z₀ = e^iθ · ρe^iθ₀ = ρe^iθe^iθ₀ = ρe^i(θ+θ₀). (6)

Si nota che l’immagine di z è il numero complesso avente lo stesso modulo di z, ma con fase ottenuta aumentando di θ₀ rad la fase di z; non è difficile capire che si tratta di una rotazione in senso antiorario (sempre attorno all’origine come nel caso precedente) di angolo θ₀.

Lo stesso risultato può essere raggiunto considerando la moltiplicazione con le coordinate cartesiane:

z · z₀ = (x + iy)(cos θ₀ + i sin θ₀) = (x cos θ₀ − y sin θ₀) + i(cos θ₀ y + sin θ₀ x) (7)

O

Infatti, se confrontiamo la (7) con l’equazione della rotazione avente centro in O ed angolo pari a θ₀, si trova che rappresentano la stessa trasformazione:

x′ = x cos θ₀ − y sin θ₀

y′ = x sin θ₀ + y cos θ₀ (8)

Osservazione 2. Esiste dunque un’equivalenza tra il moltiplicare per un numero complesso z = x + iy ed il moltiplicare un vettore [x; y] per la matrice di rotazione con angolo θ₀:

z ∼ e^iθ₀.

Osservazione 3. Se vogliamo una rotazione di θ₀ in senso orario è sufficiente considerare la moltiplicazione per e^−iθ₀ (perché la matrice da considerare deve avere proprio quell’angolo):

e^−iθ₀ · z = e^−iθ₀ · ρe^iθ = ρe^{i(θ−θ₀)}; (9)

se θ₀ = π si ottiene la rotazione

z → e^iπz = (−1)z = −z; (10)

7 O

La trasformazione (10) ci ribadisce che la simmetria centrale rispetto ad O coincide

O

con la rotazione di un angolo piatto attorno ad O. Può essere opportuno rivedere questo risultato, pur essendo già noto agli allievi, in quanto molto spesso capita di sentire affermazioni del tipo ”la simmetria centrale è una simmetria”: la terminologia in uso non aiuta di certo a capire come stanno davvero le cose.

Rotazioni con centro diverso dall’origine

Una rotazione di angolo θ e di centro C = (x₀; y₀) si rappresenta così:

x′ = x₀ + (x − x₀) cos θ − (y − y₀) sin θ (11)

y′ = y₀ + (x − x₀) sin θ + (y − y₀) cos θ

Dalla (11) si osserva che vengono compiute nell’ordine indicato queste tre trasformazioni (si veda la figura 3):

• Traslazione τ_−w di vettore w = (−x₀; −y₀);
• Rotazione R di centro O e angolo ϕ;
• Traslazione τ_w di vettore w = (x₀; y₀).

Figura 3: Rotazione con centro diverso dall’origine

1 Gli studenti devono sapere che l’ordine di composizione è importantissimo perché, in generale, due trasformazioni qualsiasi non commutano.

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La rotazione risulta quindi essere data dalla composizione R = τ_w ◦ R ◦ τ_−w; (12)

Vediamo ora di ”interpretare” la (12) nel piano complesso: la prima trasformazione assume la forma

z → z − z₀; (13)

la seconda trasformazione, come visto dalla (6), risulta essere:

z → e^iθz; (14)

È importante far notare alla classe che bisogna operare sul risultato della prima trasformazione, ovvero su z − z₀, e non su z; infine per la terza trasformazione si ha:

z → z + z₀. (15)

Mettendo assieme le (13), (14) e (15) si ottiene la formula seguente:

z → e^iθ(z − z₀) + z₀. (16)

Osservazione 4. Non è superfluo far notare che, sostituendo z al posto di z₀ si ottiene:

z₀ → e^iθ(z₀ − z₀) + z₀ = 0 + z₀ = z₀ (17)

cioè z₀ è un punto fisso per la trasformazione (16); ma non poteva che essere così, visto che si tratta del centro della rotazione. Quindi la (17) non ne rappresenta altro che la verifica algebrica.

Assegnata l’equazione della trasformazione

z → e^iϕz + b (con ϕ = 2kπ) (18)

si vuol dimostrare che si tratta di una rotazione di angolo ϕ attorno ad un opportuno centro.

Per far ciò possiamo confrontare le equazioni (18) e (16); si osserva che, per poter operare il confronto, è conveniente scrivere la rotazione (16) nella forma seguente:

z → e^iϕ(z − z₀) + z₀ = e^iϕz + z₀ − e^iϕz₀; (19)

le equazioni (18) e (19) hanno in comune il termine e^iϕz; uguagliando i termini noti (z₀ − e^iϕz₀) e b si ottiene:

z₀ − e^iϕz₀ = b ⇒ z₀(1 − e^iϕ) = b ⇒ z₀ = b/(1 − e^iϕ); (20)

La (18) rappresenta dunque una rotazione di angolo ϕ avente centro z₀ = b/(1 − e^iϕ).

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Esempio 5. Come applicazione di quanto esposto, proporrei ai ragazzi di trovare il centro della seguente rotazione:

z → (3/5 + 4/5i)z − 2i/3.

Gli allievi possono essere un po’ disorientati perché da una parte vedono e^iϕ e dall’altra (3/5 + 4/5i): sarà allora necessario verificare che si tratta di un numero complesso avente norma unitaria e che quindi può essere espresso come e^iϕ (cioè esiste un numero reale ϕ tale che e^iϕ = 3/5 + 4/5i; basta considerare ϕ = arctan(4/3)). Ma tale rappresentazione non ci interessa se vogliamo calcolare il centro z₀ di questa rotazione, che può essere ricavato risolvendo la seguente equazione:

(3/5 + 4/5i)z₀ − 2i/3 = z₀

oppure riprendendo direttamente la (20):

z₀ = (−2i/3)/(1 − (3/5 + 4/5i)) = −2i/3 /(2/5 − 4/5i) = i.