Appunti di analisi complessa

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Author: jeexo

Revisionato il 25/06/2026

di jeexo

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Appunti per l'esame di metodi e modelli matematici della fisica basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Santini, dell’università degli Studi La …

Esame Metodi e Modelli per la Fisica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Santini Paolo

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2019-2020

150 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Analisi complessa: introduzione 24/02

Numeri complessi

x² + 1 = 0
Cerco la radice ⟶ (x-x₁)(x-x₂) = 0
La soluzione è x_1,2 = ± i con i² = -1

ia ± ib con a,b ∈ ℝ si ha che ia ∉ ℝ = ℂ
(ia)(ib) = -ab ∈ ℝ
Voglio che ℂ sia chiuso rispetto alle operazioni base

In generale z = x + iy ∈ ℂ, (x,y) ∈ ℝ
Re z
Im z
Chiamiamo z̅ ( = z^*) = x - iy
|z| = √x² + y² ∈ ℝ
z · z̅ = (x + iy)(x - iy) = x² + y² = |z|² > 0

Operazioni sui numeri complessi

Somma z₁ + z₂ = (x₁ ± x₂) + i (y₁ ± y₂)
Opposto -z → z + (-z) = 0
Neutro z + 0 = zz ·1 = z
Prodotto z₁ · z₂ = (x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)

Reciproco ¹/_z = ^z̅/_|z|² = ^x/_x²+y² - i ^y/_x²+y² (z ≠ 0)
Rapporto ^z₁/_z₂ = ^z₁z̅₂/_z₂z̅₂ = ^{(x₁x₂ + y₁y₂)}/_{x₂²+y₂²} + i -^{x₁y₂ + x₂y₁}/_{x₂²+y₂²} (z₂ ≠ 0)

|z₁z₂| = |z₁| |z₂|

Piano di Gauss-Argand

z = x + iy
(x, y) → (r₂, φ)
x = r cosφ
y = r sinφ
z = r (cosφ + i sinφ)

Con r = |z|
φ: _tanφ = _y/_x → φ = atan (_{Im z}/_{Re z}) = _arg z ^argomento_di z

Convenzioni: -π ≤ φ ≤ π ^orario
0 ≤ φ < 2π ^anti-orario

Esempio: z = -2 + 2i
r = √^{x²+ y²} = √⁸ = 2√²
_tg φ = _y/_x = ₂/_-2 = -1
↓ {φ = ₃/₄ π φ = ₇/₄ π
Solito è φ = ₃/₄ π

Formula di Eulero-De Moivre

Sia f(α) = cosα + i sinα
{ _f'(α) = i f(α)
f(0) = 1

Nel caso reale ho: { _f'(x) = α f(x) → un'ice sd. f(0) - 1 nei reali
_f(x) = e^x〃
e generalizzando nei complessi → ∫(α) = cosα + i sinα = e^iα
OSS arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂
arg(z^m) = m arg z

Somma e differenza

z_S = z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
z_D = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + i (y₁ - y₂)
{ z_S ∈ R²
{ z_D ∈ R²

Disuguaglianze notevoli

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
|z₁z₂| = |z₁| |z₂|
|z₂ - z₂| ≥ ||z₁| - |z₂||

Prove di disuguaglianza

Dim 1
|z₁ + z₂|² = (z₁ + z₂)(̅z₁ + ̅z₂) = |z₁|² + |z₂|² + 2Re(z₁̅z₂) ≤ |z₁|² + |z₂|² + 2|z₁||z₂| == (|z₁| + |z₂|)²

Dim 3
|z₁ + z₂| ≤ ||z₁| + |z₂|| → |J₁| ≤ |J₁ - ̅J₂| + |J₂| = |J₃ - J₂| + |J₂|
⊢ ||J₃| - |J₂|| ≥ |J₃| - |J₂|

Operazioni di moltiplicazione

z' = z e^iφ = (ρ₀ e^{i α})(x + iy) = (x cosφ - y sinφ) + i (x sinφ + y cosφ)
x' = x cosφ - y sinφ
y' = x sinφ + y cosφ
z' = (cosφ - sinφ sinφ cosφ)

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