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Calcolare

∫V (x2 + y2 − y5) dx dy dz,

dove V = { (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 3 }.

Soluzione

Passando a coordinate cilindriche (ρ, ϑ, z) si ha che V viene trasformato nell'insieme W = { (ρ, ϑ, z) ∈ [0, +∞) × [0, 2π) × R : 0 ≤ ρ ≤ 2, −π/2 ≤ ϑ ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 3 }; quindi si ha

∫V (x2 + y2) dx dy dz = ∫W ρ3 dρdϑdz =

= ∫03 (∫−π/2π/2 (∫02 ρ3 dρ) dϑ) dz = 1/4 (ρ4)|02 (ϑ)|−π/2π/2 (z)|03 = 12π.

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Integrali: [math]\int_{{{V}}}{\left({x}^{2}+{y}^{2}-{y}^{5}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.}[/math] Pag. 1
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Sintesi

[math]\int_{{{V}}}{\left({x}^{2}+{y}^{2}-{y}^{5}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.}[/math]

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