Concetti Chiave
- Poincaré sostiene che la matematica è un'attività costruttiva, rifiutando ogni fondazione logica e considerando la logica solo un mezzo di comunicazione.
- Brouwer ritiene che la matematica preceda la logica, descrivendo le costruzioni matematiche e basandosi sull'intuizione del tempo, senza essere influenzata dalle antinomie logiche.
- Hilbert propone una prospettiva formalista, affermando che la logica e la matematica devono svilupparsi parallelamente, senza che una sia più fondamentale dell'altra.
- Le teorie matematiche vengono viste da Hilbert come strutture assiomatico-deduttive, la cui validità dipende dalla dimostrazione della loro non contraddittorietà.
- Il formalismo di Hilbert introduce la metalogica, che analizza le proposizioni di un sistema formale e la loro coerenza interna.
Qual è la visione di Poincaré e Brouwer?
In Francia il matematico e fisico Jules Henri Poincaré (1854-1912) rifiuta ogni possibile fondazione della matematica su basi logiche: la matematica è un'attività costruttiva, mentre la logica ha solo la funzione secondaria di permettere la comunicazione dei risultati del pensiero.
Anche per il matematico olandese Luitzen Egbertus Brouwer (1881-1966) la matematica viene prima della logica, che si limita a descriverne le costruzioni. Le antinomie russelliane, dunque, la cui natura è logico-linguistica, non mettono affatto in crisi la matematica reale. Quest'ultima non si basa sulla logica, ma sull'intuizione dello scorrere continuo del tempo. Questa intuizione rende possibile la successiva elaborazione degli enti matematici, che non hanno una realtà esterna, ma sono costruzioni mentali.
La prospettiva formalista di Hilbert
Diversa sia dall'impostazione logicista sia da quella intuizionista è la prospettiva formalista, attraverso la quale David Hilbert (1862-1943) affrontò il problema dei fondamenti della matematica. La logica, che fa uso di nozioni aritmetiche come quelle di insieme e di numero, non può essere considerata più fondamentale della matematica, ma deve es-sere sviluppata parallelamente a essa. Le diverse teorie matematiche, come la teoria degli insiemi, la geometria elementare o l'aritmetica, sono strutture assiomatico-deduttive. Ciascuna di esse risulta fondata qualora se ne provi la non contraddittorietà. Hilbert con-centra quindi la sua attenzione sulla coerenza di un sistema formale. La sua scuola — il formalismo — porterà in primo piano la cosiddetta «metalogica», ossia il complesso di enunciati che dicono qualcosa sulle proposizioni di un sistema formale.
Domande da interrogazione
- Qual è la posizione di Poincaré riguardo alla relazione tra matematica e logica?
- Come vede Brouwer la natura della matematica rispetto alla logica?
- Qual è il focus della prospettiva formalista di Hilbert sui fondamenti della matematica?
Poincaré rifiuta l'idea di fondare la matematica su basi logiche, sostenendo che la matematica è un'attività costruttiva, mentre la logica ha solo un ruolo secondario nella comunicazione dei risultati (come indicato nel testo).
Brouwer afferma che la matematica precede la logica, la quale serve solo a descrivere le costruzioni matematiche. Le antinomie logico-linguistiche non compromettono la matematica reale, che si basa sull'intuizione del tempo e non su una realtà esterna (come evidenziato nel testo).
Hilbert si concentra sulla coerenza dei sistemi formali, affermando che la logica e la matematica devono svilupparsi parallelamente. Le teorie matematiche sono considerate fondate se si dimostra la loro non contraddittorietà (come descritto nel testo).
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