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Calcolare ∫R e−x2 dx

Soluzione

Senza l’aiuto degli integrali doppi, il calcolo dell’integrale ∫R e−x2 dx sarebbe impossibile.

Allo scopo poniamo ∫R e−x2 dx = I e osserviamo che, per il Teorema di riduzione,

∫R e−x2 dx ∫R e−y2 dy = I2.

Quindi

∫R2 e−x2−y2 dxdy = I2.

Per cui calcoliamo ∫R2 e−x2−y2 dxdy passando a coordinate polari piane; si ha

∫R2 e−x2−y2 dxdy = ∫02π dθ ∫0+∞ e−ρ2 ρdρ = 2π ∫0+∞ e−ρ2 ρdρ.

Ora

∫0+∞ e−ρ2 ρdρ = −1⁄2 ∫0+∞ e−ρ2(−2ρ)dρ = −1⁄2 [e−ρ2]0+∞ = 1⁄2.

Quindi

∫R2 e−x2−y2 dxdy = π,

I2 = π,

da cui

∫R e−x2 dx = I = √π.

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Integrali: [math]\int_{{\mathbb{R}}}{e}^{{-{x}^{2}}}{\left.{d}{x}\right.}[/math] Pag. 1
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Sintesi

[math]\int_{{\mathbb{R}}}{e}^{{-{x}^{2}}}{\left.{d}{x}\right.}[/math]

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