Interazione spin orbita

15) Separazione variabili

Separazione variabili: funzionano perché posso associare a t.a. funzioni comuni...per grandezze compatibili tra loro → le (come le E_x, E_y E_z anticomm. Relazioni proprio gap autovalori): es: →_{numero quanti} ↔ _{quantità conservata}(regole di quantizzazione)= quantità conservata ad ogni misura x Enetto con& #... operatori compatibilmente che commutano con lSe ho più quantici con Accare devo selezio necommutatoriate l’onda. funzioni comuni.= constants legata agli autovalori_{trappose la successiva} affinamento: → minimizza di indetermonazioine_{La pulse deriva clisica la AnsReacto rettangolare}(parallelepipedico con lati: L_x, L_y, L_z divers a)0 laro)

Potenziali con simmetria sferica

_{Le coordinate teciciens-polarin}(x,y,z) → (x,θ,φ)x=r sinθcosφy=r sinθsinφz=r cosθ⎧ x = r sin θ cos φ^⎫⎨ y = r sin θ sin φ^⎬⎩ z = r cos θ^⎭⎧ r = √x²+y²+z²⎨ θ = arctg (√x²+y²/z) ^⎬⎩ φ = arcα (× yz ) ^⎭potenziali con simmetria sferica (U(x)) non dipende da θ e φ(inmutable per rotazioni)F = -∇U = - dU/dr_altForze (centrale) → diretta radialmente(L dipende solo da r)F × r = 0_(F//r)→ il momento torcente è nullo → momento angolare si conserva(L)(Classicamente: L² si conserva)L_x,L_y,L_z sono quantità consuate

Hamiltoniana e operatore laplaciano

Per sfruttare la simmetria sferica, insirite n'ela di stdinlinere in coordinate sferocipaleH = p²/2m + V(x) per la funzione d'onda ψ(x,θ,φ)

Operatore Laplaciano in conordinate fetcio pleibuli:Si utilizza la regola di derivuoluzzione a caterno:^∂/_r ^∂/_θ ^∂/_φ^∂/_x ^∂/_y ^∂/_z

Appendice

Appendice: (Laplaciano & momento angolare in coordinate sferico-polain.(∂² / ∂x²) + (∂² / ∂y²) + (∂² / ∂z²)Separazione variabili funziona perché posso associare a funzioni comuni per grandezze compatibili tra loro i (ad esempio le _i mitocondriali) propri gli autovalori: numere quanti; regole di quantizzazione quantità conservatequantità conservate associativamente (operatore concordente) che commutano con/utilità.

Se ho più quanti con accare devo scalare se commutano tra loro. auto funzioni comuni.costanti legate agli autovaloriPrincipi di simmetria = minimizzare di degenerazionePer punter da sistema classico in coordinate rettangolari (parallelle e perpendicolari con traiett.)

Potenziati con simmetria sferica

Potenziati con simmetria sferica coordinate pdocepôrni(x,y,z) → (r,θ,φ) x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ r = √(x² + y² + z²) θ = arctg (y/x) φ = arcα (√₂/_{(z²2 + x2)})

Potenziati con momenta sferica (U(r)) non dipende da θ & φ forza "centrale" diretta radialmente (dipende solo da r) F = −∇U = - δU/δr altrF × r = 0 (F//r) un momento torcente è nulla ↳ momento angolare si conserva (L) Quadraticamente: L² si consegna L_x,L_y,L_z sono quantità conservate

Ripetuto la simmetria sferica

Per ripetuto la simmetria sferica indicatori evolga al Schislaudinger in ordiniato sfercopac.H = T/_2m + V² + U(r) per la questione olovna (r,θ,φ)

Operatore Laplaciano in coordinate pdocepôrni:Si utilizza la regola di disidrossona a catero: δ/δx δ/δy δ/δz δ/δx δ/δx δ/δx δ/δy δ/δy δ/δy δ/δz δ/δz