Integrali doppi
L'integrale doppio è definito come segue: sia ρ(x) una funzione continua su un intervallo chiuso I = [a, b] con ρ(x) > 0. Se consideriamo la somma di Riemann ∑ ρ(xi) Δxi, questa tende a un limite finito indipendentemente dalle scelte dei punti xi.
Definizione di integrale
Nell'intervallo, l'integrale ∫ab ρ(x) dx rappresenta l'area A. Se definiamo Az come ρ(x,y)(x,y) appartenente a D, un dominio chiuso e limitato, possiamo considerare D come un rettangolo nel piano.
Se il limite ∑ ρ(ζij) Area Rij esiste finito per Area Rij → 0 al dominio D nei sottorettangoli Rij, e per ogni scelta del punto (ζij) in Rij, allora esiste l'integrale I = lim Area Rij → 0 ∑ ρ(ζij) Area Rij, che rappresenta il volume del solido sotto il grafico di z = ρ(x,y) ≥ 0 in D.
Così, l'integrale doppio ∬ ρ(x,y) dxdy = ∫ ρ(x,y) dA, dove dA = d2xy è l'area infinitesimale.
Teorema
Se ρ(x,y) è continuo su un dominio chiuso e limitato, allora ∬ ρ(x,y) dxdy esiste finito.
Proprietà
- Se ρ(x,y) ≥ 0, allora ∬ ρ(x,y) dxdy rappresenta il volume sotto la funzione.
- Se ρ(x,y) ≤ 0, allora ρ(ζij) · Rij è l'opposto del volume del parallelepipedo di base Rij e altezza ρ(ζij).
∬ ρ(x,y) dxdy rappresenta il volume del solido.
Conclusione
γ = ρ(x), dove x ∈ I (intervallo chiuso) e f(x) è continua.
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