Integrali - Dalla definizione alle primitive elementari generalizzate

Integrali

Definizione geometrica

L'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione f(x) nell'intervallo [a,b].

Definizione analitica

L'integrale definito ∫_a^b f(x) dx definisce l'area (con segno) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle ascisse e le rette verticali x = a e x = b.

Sia f(x) = k ∀ x ∈ [a,b], con k costante reale, allora l'integrale di f sull'intervallo [a,b] è: ∫_a^b f(x) dx = (b-a) · k.

Nota: Se f(x) si trovasse "al di sotto" dell'asse x, l'area risulterebbe negativa.

Integrali

Definizione geometrica

L'integrale definisce l'area sottesa al grafico della funzione f(x) nell'intervallo [a, b].

Definizione analitica

L'integrale definito ∫_a^b f(x) dx definisce l'area (con segno*) della regione di piano compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle ascisse e le rette verticali x = a e x = b.

Sia f(x) = k ∀ x ∈ [a, b], con k costante reale, allora l'integrale di f sull'intervallo [a, b] è: ∫_a^b f(x) dx = (b - a) ⋅ k.

Area (con segno) del rettangolino.

*Se f(x) si trovasse "al di sotto" dell'asse x, l'area risulterebbe negativa.

Funzioni a scala

Sia f₀(x) una funzione a scala (che assume il valore k_i nell'i-esimo intervallo avente x_i-1 ed x_i come estremi), allora l'integrale di f₀ sull'intervallo [a, b] è ∫_a^b f₀(x) dx = ∑_i=1^M (x_i - x_i-1) · k_i =

Somma alg. delle aree (con segno) dei rettangoli.

Base dell’i-esimo rettangolino.

Altezza (con segno) dell’i-esimo rettangolino.

A < ∫_a^b h(x) dx sup { ∫_a^b f₀(x) dx: f₀(x) a scala e g(x) ≤ f₀(x) ∀ x ∈ [a, b] } ≤ A ≤ inf { ∫_a^b h(x) dx: h(x) a scala e h(x) ≤ f₀(x) ∀ x ∈ [a, b] }

- La funzione a scala h(x) sovrastima il valore di f₀(x) in [a, b]. Ma posso utilizzare anche un'ipotetica g(x) che lo sottostima.

Niente paura!

Se sup e inf coincidono, diciamo che f₀ è integrabile secondo Cauchy-Riemann nell’intervallo [a, b], e il valore comune è ∫_a^b f₀(x) dx.

Regole di integrazione

Come per le derivate dove non calcolo in ogni esercizio il limite del rapporto incrementale per trovare la derivata, anche qui possiamo appoggiarci a delle regole di integrazione:

Per calcolare ∫_a^bf(x)dx devo:

• Trovare una funzione che, nell'intervallo [a, b], abbia f(x) come derivata, ovvero una primitiva di f;
• Una volta trovata, la calcolo negli estremi della zona di integrazione (calcolo cioè F(b) e F(a));
• Sottraggo i due valori.

∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a).

Esempio: ∫₀⁵3x² dx = [x³]₀⁵ = (5)³ - (0)³ = 125.

I_passaggio II_passaggio

Nella maggior parte dei casi, il I_passaggio, ovvero la ricerca della primitiva, è quello più complicato, per fare questo esistono dettagliate regole.

Primitive elementari e proprietà degli integrali

Se f(x) è continua, ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a).

Si dice che F(x) è una primitiva di f(x) se è derivabile e F'(x) = f(x) ∀ x ∈ (a,b).

Ogni funzione f : [a,b] → ℝ continua ammette delle primitive.

La primitiva non è mai unica: infatti se F(x) è una primitiva, allora lo è anche F(x) + C, con C ∈ ℝ costante.

Se F₁(x) e F₂(x) sono due primitive di f(x) in uno stesso intervallo, allora F₁(x) - F₂(x) è una funzione costante.

Per indicare una generica primitiva di f(x) si utilizza la notazione ∫ f(x) dx = Integrale indefinito.

NB: Alcuni autori utilizzano questa notazione per indicare l'insieme delle primitive.

Primitive "elementari"

• f(x): cos x   F(x): sin x
• f(x): sin x   F(x): -cos x
• f(x): e^x   F(x): e^x
• f(x): a^x   F(x): a^x
• f(x): x^m   F(x): x^m+1/(m+1)
• f(x): 1/x   F(x): ln|x|
• f(x): 1/(1+x²)   F(x): arctg x ∀ m ≠ -1

Esempio 1: ∫₀^π/2 sin x dx = [-cos x]₀^π/2 = [-cos π/2] - (-cos 0) = 1.

Esempio 2: ∫₁² x³ dx = [x⁴/4]₁² = [2⁴/4 - 1⁴/4] = 15/4.

Proprietà dell'integrale

• ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• k ∫ f(x) dx = k ∫ f(x) dx

Esempio 3: ∫ (3x + cos x) dx = ∫ 3x dx + ∫ cos x dx = 3 ∫ x dx + ∫ cos x dx = 3 x²/2 + sin x + c.

• 3) ∫_a^cf(x) dx = ∫_a^bf(x) dx + ∫_c^bf(x) dx
• 4) |∫_a^bf(x) dx| ≤ ∫_a^b|f(x)| dx

Primitive di derivate di funzioni composte

Sia F(x) una primitiva di f(x) e sia β(x) una funzione derivabile e tale che sia possibile costruire la funzione composta F(β(x)). In questo caso:

[F(β(x))]¹ = f(β(x))・β'¹(x).

∫f(β(x))・β'(x) dx = F(β(x)) + C.

Esempio: ∫3x²sin(x³) dx = -cos(x³) + c.

Esempio 2: ∫ e^{sin x} cos x dx = e^{sin x} + c.

Esempio 3: ∫ x (x² - 1)²⁰¹⁴ dx = 1/2 ∫ 2x (x² - 1)²⁰¹⁴ dx = 1/2 (x² - 1)²⁰¹⁵/2015 + c = (x² - 1)²⁰¹⁵/4030 + c.

Ricordando che ∫ x^m dx = x^m+1 / (m+1) + c.

Primitive elementari

• ∫ cos x dx = sin x + c
• ∫ sin x dx = -cos x + c
• ∫ e^x dx = e^x + c
• ∫ x^m dx = x^m+1 / (m+1) + c (m ≠ -1)
• ∫ 1/x dx = ln |x| + c

Primitive elementari generalizzate

• ∫ b'(x) cos [b(x)] dx = sin [b(x)] + c
• ∫ b'(x) sin [b(x)] dx = -cos [b(x)] + c
• ∫ b'(x) e^b(x) dx = e^b(x) + c.
• ∫ b'(x) [b(x)]^m dx = [b(x)]^m+1 / (m+1) + c (m ≠ -1)
• ∫ b'(x)/b(x) dx = ln |b(x)| + c.