Integrali - Analisi matematica 1

Lezione 12 02/11/2017

Integrale definito

Sia f:[a,b] → ℝ limitata.

Costruendo la somma di Cauchy-Riemann:

S_n = ∑_j=1ⁿ f(ξ_j) · (x_j-x_j-1) = ^b-a/_n ∑_j=1ⁿ f(ξ_j)

Dove la suddivisione dell'intervallo [a,b] è individuata dai punti:

x₀=a, x₁, x₂, ..., x_n=a b, x_j=a+jh, h=^b-a/_n

La scelta dei punti ξ_j è arbitraria.

Si dice che la funzione f:[a,b] → ℝ, limitata, è integrabile secondo Riemann in [a,b], se detta S_n la somma di Cauchy-Riemann, esiste finito il limite di S_n (per n → ∞), e tale limite non dipende dalla scelta dei punti ξ_j. Allora si pone:

∫_a^bf(x)dx

∫_a^bf(x)dx = ∫_I f(x) dx, I:=[a,b] è il dominio di integrazione dove a e b sono gli estremi.

Se f(x) è positiva allora ∫_a^bf(x)dx rappresenta l'area del sottografico di f(x).

Infatti, la somma S_n rappresenta un'approssimazione dell'area del trapezoide T individuato da f:

T: {(x,y) ∈ ℝ²: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

Se f ≥ 0 → ∫_a^bf(x)dx = area di T.

Se in [a,b] f cambia segno allora ∫_a^bf(x)dx è sempre un numero ma non rappresenta già l'area del sottografico di f.

∫_a^bf(x)dx è un numero, non dipende da x.

Lezione 12 02/11/2017

Integrale definito

Sia f:[a,b]→ℝ, limitata.

Costruendo la somma di Cauchy-Riemann:

S_n=∑_j=1ⁿf(ξ_j)·(x_j-x_j-1)= ^b-a/_n ∑_j=1ⁿf(ξ_j)

Dove la suddivisione dell'intervallo [a,b] è individuata dai punti: x₀=a, x₀, x₂, ..., x_n=b, x_j=a+jh, h=^b-a/_n.

La scelta dei punti ξ_j è arbitraria.

Si dice che la funzione f: [a,b]→ℝ, limitata, è integrabile secondo Riemann in [a,b] se detta S_n la somma di Cauchy-Riemann, esiste finito il limite di S_n (per n→∞), e tale limite non dipende dalla scelta dei punti ξ_j. Allora si pone: lim S_n ∫_a^bf(x)dx.

∫_a^bf(x)dx = ∫_If(x) dx I=[a,b] è il dominio di integrazione dove a e b sono gli estremi.

Se f(x) è positiva allora ∫_a^bf(x) dx rappresenta l'area del sottografico di f(x). Infatti, la somma S_n rappresenta un'approssimazione dell'area del "trapezoide T" individuato da f:

T: {(x,y)∈ℝ²: a≤x≤b, 0≤y≤f(x)}

Se f≥0 ⇒ ∫_a^bf(x) dx = area di T.

Se in [a,b], f cambia segno allora ∫_a^bf(x) dx è sempre un numero ma non rappresenta più l'area del sottografico di f.

∫_a^bf(x)dx è un numero, non dipende da x.

Se f cambia segno in [a,b] e si vuole calcolare l'area del sottografico di f, allora si deve suddividere l'intervallo in tanti intervallini di cui f è di segno costante.

L'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann in I ★ [a,b] si indica con R(I) o R([a,b]).

R(I) non è vuoto, infatti ogni funzione costante g=c è integrabile su qualunque intervallo [a,b] e si ha:

∫_a^b c dx = c (b-a)

Per qualunque suddivisione di [a,b] si ha:

S_n = ∑_j=1ⁿ f(ξ_j) · (x_j - x_j-1) = ^b-a/_n ∑_j=1ⁿ c = (b-a)c = c + c + ··· + c (n volte)

Se f: [a,b] → R è continua, allora è integrabile.

Se f: [a,b] → R è monotona e limitata, allora è integrabile.

Se f: [a,b] → R è limitata in [a,b] con un numero finito di punti di discontinuità, allora è integrabile.

È estensibile a punti di discontinuità infiniti, ma non devono essere troppi.

La funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet su [a, b]:

f(x) = 1 se x ∈ Q ∩ [a, b]
0 se x ∈ [a, b] \ Q

È limitata e non è integrabile secondo Riemann (i punti di discontinuità sono x ∈ [a, b]);

Infatti, se si scelgono i punti ξ_j razionali si ha:

S_n = Σ_j=1ⁿ f(ξ_j)·(x_j - x_j-1) = Σ_j=1ⁿ 1 · (x_j - x_j-1) = (b-a)

Se invece si scelgono i punti ξ_j irrazionali si ha:

S_n = Σ_j=1ⁿ f(ξ_j)·(x_j - x_j-1) = Σ_j=1ⁿ 0 · (x_j - x_j-1) = 0

Proprietà dell'integrale

Siano f e g integrabili in [a, b], allora:

1. Linearità dell'integrale: se α, β ∈ ℝ sono costanti, la funzione αf(x) + βg(x) è integrabile e si ha: ∫[αf(x) + βg(x)]dx = α∫ f(x)dx + β∫ g(x)dx.
2. Additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione: se a ≤ s ≤ b allora f è integrabile anche su [a, s] e [s, b] e:

∫_a^b f(x)dx = ∫_a^s f(x)dx + ∫_s^b f(x)dx

3. Positività e monotonia: f ≥ 0 ⇒ ∫_a^b f(x)dx ≥ 0.

f ≥ g ⇒ ∫_a^b f(x)dx ≥ ∫_a^b g(x)dx in particolare: |∫_a^b f(x)dx| ≤ ∫_a^b |f(x)|dx

Per convenzione, se a < b si pone ∫_a^b f(x)dx = -∫_b^a f(x)dx

i) Se f limitata e integrabile secondo Riemann in [a, b] allora:

m ≤ ¹/_b-a ∫_a^b f(x)dx ≤ M dove m = inf { } e M = sup { }

ii) Se f è continua su [a, b] t x₀ ∈ (a, b):

¹/_b-a ∫_a^b f(x)dx = f(x₀) (valor medio integrale di f su [a, b])

Lezione 13 03/03/2017

i) Essendo f(x) limitata si ha: m ≤ f(x) ≤ M→ integrando membro a membro su [a,b]: m ≤ ₁/_b-a∫f(x)dx ≤ M.

ii) Indicando con y₀ il valore y₀= ₁/_b-a∫f(x)dx che è un valore compreso tra m e M → Essendo f continua, per il teorema dei valori intermedi, esisterà x₀ ∈ (a,b): f(x₀) = y₀ cioè la tesi.

Area (A) = 2 area (R) Area (C) = Area (D)

Integrale indefinito

Sia f una funzione integrabile con Riemann nell'intervallo [a,b] e x ∈ [a,b], si definisce funzione integrale di f, l'integrale definito:

F(x) = ∫_a^x f(t) dt

Sia f continua in [a,b], allora la funzione integrale F(x)=∫_a^xf(t)dt è di classe C¹[a,b] (F ed F' continue in (a,b)) e si ha:

F'(x) = f(x) ∀x ∈ [a,b]

Scritto il rapporto incrementale di F(x):

^F(x+h)-F(x)/_h = ¹/_h ∫_x^x+hf(t)dt - ∫_x^x+hf(t)dt = ¹/_h ∫_x^x+hf(t)dt

Per il teorema della media integrale applicato ad f in [x, x+h], ∃ x_h ∈ (x, x+h):

1/h ∫_x^x+hf(t)dt = f(x_h) si è ottenuto F(x+h) - F(x) = ¹/_h - f(x_h)

Ed essendo f continua in [x, x+h] si ha la tesi:

^{F(x+h) - F(x)}/_h = lim_h→0F'(x_h) = F'(x)

L'ipotesi di continuità per f è fondamentale per la derivabilità di F.

Infatti se f è solo integrabile non si può affermare che F è derivabile.

Una funzione F(x), derivabile in [a,b], si chiama primitiva di f(x) se:

F'(x)=f(x) ∀x∈[a,b]

Se F(x) è una primitiva di f(x) lo è anche F(x)+c, infatti:

[F(x)+c]'=F'(x)=f(x)

La famiglia di tutte le primitive di una funzione f(x) continua in [a,b] è detta integrale indefinito e si indica:

∫f(x)dx quindi: ∫f(x)dx=F(x)+c

Corollario del "Teorema fondamentale del calcolo integrale"

Sia f(x) una funzione continua su [a,b], e G(x) una primitiva di f. Allora:

∫_a^bf(x)dx=G(b)-G(a)=[G(x)]_a^b=G(b)-G(a)

Se G è una primitiva di f allora ∫_a^xf(t)dt=G(x)−G(a)

Questa è il legame tra l'integrale definito ∫_a^bf(x)dx e l'integrale indefinito ∫f(x)dx.

∫_a^bf(x)dx è un numero reale.

∫f(x)dx è un insieme di funzioni.

Dalle proprietà delle derivate si ottiene:

• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
• ∫cf(x)dx=c∫f(x)dx c∈costante

∫^x_αxdx=−¹/²+1+c ≠±1

∫₁^²dx=tgx+c

∫^x_xdx=ln +c >0

∫¹_√1−²dx=arcsin +c

∫eˣdx=eˣ+c

∫⁻¹_√1−²dx=arccos +c

∫sinxdx=−cosx+c

∫¹_1+²dx=arctgx+c

∫cosxdx=sinx+c