Integrali: [math] \int_{{{D}}}\frac{{{x}^{2}{y}}}{{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}[/math]

Revisionato il 20/10/2026

di lussardi

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Calcolare ∫∫_D ^xy/(x² + y²) dxdy

dove D = {(x, y) ∈ ℝ² | 1 < x² + y² < 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.

Si ha la soluzione.

∫∫_D ^xy/(x² + y²) dxdy = ∫₀¹ dy ∫_√(1−x²)^√(4−x²) ^xy/(x² + y²) dx + ∫₁² dy ∫₀^√(4−x²) ^xy/(x² + y²) dx =

∫₀¹ dx ∫_√(1−x²)^√(4−x²) ^xy/(x² + y²) dy + ∫₁² dx ∫₀^√(4−x²) ^xy/(x² + y²) dy =

∫₀¹ ^x/₂ log(x² + y²) |_1−x²^4−x² dx + ∫₁² ^x/₂ log(x² + y²) |₀^4−x² dx =

∫₀¹ x log 4 dx − ∫₀¹ x log(x²) dx + ∫₁² x log 4 dx − ∫₁² x log(x²) dx =

= ¹/₂ log 2 − ¹/₂ log 2 + ³/₄ = ³/₄.

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Sintesi

[math] \int_{{{D}}}\frac{{{x}^{2}{y}}}{{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}[/math]

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