Insiemi numerici

Numeri logica e linguaggio matematico

Il linguaggio matematico è strettamente legato al linguaggio degli insiemi. La nozione di insieme è generalmente assunta come primitiva: si usano infatti espressioni come “collezioni”, “classi”, ecc. Un insieme è determinato dai suoi elementi. Si dice dunque che un elemento appartiene a un insieme.

Simboli

Per indicare gli insiemi si usano le lettere maiuscole, come A, B, X, Y, ecc.

Per indicare gli elementi di un insieme si usano le lettere minuscole, come a, b, x, y, ecc.

Per indicare che un elemento appartiene all’insieme scriviamo ∈, come a ∈ A.

Per indicare da cosa è composto l’insieme si scrive A={…}.

• Quantificatore universale: Il simbolo ∀ si chiama e si legge “per ogni”.
• Implicazione: Il simbolo → si chiama e si legge “implica” o “se… allora…”.
• Quantificatore esistenziale: Il simbolo ∃ si chiama e si legge “esiste”.
• Il simbolo ∃! si legge “esiste ed è unico”.
• Il simbolo ∄ si legge “non esiste”.
• Il simbolo : si legge “tale che”.

Ordine, molteplicità, uguaglianza

• Ordine: {1, 2} = {2, 1} ossia l'ordine in cui elenchiamo gli elementi è irrilevante.
• Molteplicità: {1, 1, 2} = {1, 2} ossia il concetto di molteplicità degli elementi è estraneo.
• Uguaglianza: A = B significa che i due insiemi sono uguali, ossia possiedono gli stessi elementi. In altre parole, “Ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B e ogni elemento che appartiene a B appartiene anche ad A”; in termini matematici: ∀x (x ∈ A → x ∈ B e x ∈ B → x ∈ A).

Inclusione

∀x (x ∈ A → x ∈ B) si scrive: A ⊆ B o A ⊂ B per indicare che A è un sottoinsieme di B.

A ⊊ B si scrive: A ⊂ B o A ⊊ B per indicare che “Ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B ed esiste un elemento di B che non appartiene ad A”. Formalmente: ∀x (x ∈ A → x ∈ B) e ∃x (x ∈ B : x ∉ A).

Ricorda: non confondere appartiene con include; un insieme è incluso in un altro insieme, mentre un elemento appartiene a un insieme.

Insieme vuoto

L’insieme vuoto si definisce come l’insieme che non contiene alcun elemento e si indica con il simbolo Ø. Per qualsiasi insieme A, possiamo affermare che: Ø ⊆ A.

Dimostrazione: ∀x, se x ∈ Ø → x ∈ A.