Formulario statistica

Inferenza statistica

Sabato 3 giugno 2017 10:23

Probabilità

2ⁿ possibili eventi di uno spazio campionario

p(A) = (n_A / n) casi favorevoli casi possibili

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

p(A/B) = (p(A ∩ B) / p(B)

p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A)

p(A)p(B) Se eventi indipendenti

Variabili casuali

Media: E(x) = Σ x_ip(x_i) = μ_x

Varianza V(x) = Σ (x_i − nx)²p(x_i) = σ_x²

Uniforme

E(x) = a + (a + s − 1) / 2

v(x_U) = (Σ_a^a+s−1(x_i − μ_x)²

Bernulli

E(x) = π

v(x) = π(1 − π)

Binomiale

f(x) = (n/x) n^k(1 − n)^n−x

E(x) = nπ

v(x) = nπ(1 − π)

Standardizzazione

p(z ≤ x₁) = p(z ≤ z₁) = φ(z₁)

p(z ≥ x₁) = p(z ≥ z₁) = 1 − φ(z₁)

p(x₁ ≤ x ≤ x₂) = p(z₁ ≤ z ≤ z₂) = φ(z₂) − φ(z₁)

z_i = (x_i − μ / σ

p(z ≤ −z) = p(z ≥ z)

Campionamento

μ = 1/N Σ_i=1^N x_i

X̄ = 1/n Σ_i=1ⁿ x_i

σ² = 1/N Σ_i=1^N (x₁ − μ)²

S² = 1/n Σ_i=1ⁿ (x_i − x̄)²

Senza reimmissione

E(x̄) = μ n = 1 non ha senso

N = n V(x̄) = 0

V(x̄) = ((N − n) / N − 1)⁻¹ σ² / n n ≪ N

V(x̄) = σ² / n N → ∞ (x) = n

Stima puntuale

Correttezza E(T) = θ distorsione: B(T) = E(T) − θ

Efficienza

MSE(T₁) < MSE(T₂)) se l’estimatore è corretto MSE(T) = V(T)

MSE(T) = E[(T − θ)²] = V(T) + B(T)²) Efficienza: V(T₁) < V(T₂)

Consistenza lim E(T_n) = lim V(T_n) = 0

Correttezza asintotica lim E(T_n) = θ

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Inferenza statistica

Probabilità

2ⁿ possibili eventi di uno spazio campionario

p(A) = n_a / n casi favorevoli / casi possibili

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)

p(A/B) = p(A ∩ B) / p(B)

p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A) / p(A)p(B) Se eventi indipendenti

Variabili casuali

Media: E(x) = Σx_ip(x_i) = μ_x

Varianza V(x) = Σ(x_i - μ_x)² p(x_i) = σ²_x

Uniforme

E(x) = a + (a + s - 1) / 2 / v(x) = Σ (x_i - μ_x)²

Bernulli

E(x) = π / v(x) = π(1 - π)

Binomiale

f(x) = ( n ) x^k(1 - π)^n-x / ( n ) = n! / x!(n-x)!

E(x) = nπ / v(x) = nπ(1 - π)

Standardizzazione

p(x ≤ x₁) = p(z ≤ z₁) = φ(z₁)

p(x ≥ x₁) = p(z ≥ z₁) = 1 - φ(z₁)

p(x₁ ≤ x ≤ x₂) = p(z₁ ≤ z ≤ z₂) = φ(z₂) - φ(z₁)

z_i = x_i - μ / σ

p(z ≤ -z) = p(z ≥ z)

Campionamento

μ = 1/N Σx_i = x̄ = 1/n Σx_i

σ² = 1/N Σ(x_i - μ)² / S² = 1/n Σ(x_i - x̄)²

Senza reimmissione

E(x) = μ n = 1 non ha senso

N = n V(x) = 0

V(x) = (N-n) / (N-1) σ² / n 2 / n

N → ∞ V(x) = σ² / n

Stima puntuale

Correttezza E(T) = θ distorsione: B(T) = E(T) - θ

Efficienza MSE(T₁) 2) se l’estimatore è corretto MSE(T) = V(T) Efficienza: V(T₁) 2)

MSE(T) = E[(T - θ)²] = V(T) + B(T)²

Consistenza lim E(T_n) = lim V(T_n) = 0

Correttezza asintotica lim E(T_n) = θ

Intervalli di confidenza

σ² Noto

P\left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\frac{\alpha}{2}} \right) = P \left(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma^{2}/n} \leq z_{\frac{\alpha}{2}} \right) = 1-\alpha

σ² Incognito

S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^2

P\left(-t_{\alpha/2,n-1} \leq T \leq t_{\alpha/2,n-1} \right) = P\left(-t_{\alpha/2,n-1} \leq \frac{\overline{x}-\mu}{S/\sqrt{n}} \leq t_{\alpha/2,n-1} \right) = 1-\alpha

Popolazioni non normali, grandi campioni

P\left(\overline{x} - \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \overline{x} \leq \overline{x} + \frac{s}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha

Per proporzioni (senza reimmissione) E(p) = π v(p) = π(1-π)

P\left(\frac{p - z_{\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{\pi(1-\pi)/n}} = 1 - \alpha\right)

Test verifica ipotesi

\overline{x} H₀: μ = μ₀ H₁: μ ≠ μ₀

P\left(-\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{z} \leq \frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} \leq \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{z} \right) = 1-\alpha

z H₀: μ = μ₀ H₁: μ ≠ μ₀

P\left(-\frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{z} \leq Z \leq \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{z} \right) = 1 - \alpha

Test ipotesi popolazioni normali e σ incognito

T = \frac{\overline{x}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}

ALTERNATIVA H₁: μ > μ₀ H₁: μ 0 H₁: μ ≠ μ₀

RIFUTO T ≥ t_α T ≤ -t_α |T| ≥ t_α/2

Test per proporzioni

z = \frac{p - \pi_{0}}{\sqrt{\pi_{0}(1-\pi_{0})n}}

ALTERNATIVA H₁: π > π₀ H₁: π 0

RIFUTO Z ≥ Z_α Z ≤ -Z_α

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