Meccanica Quantistica non Relativistica (eBook)

Meccanica quantistica non relativistica 2

Arrigo Amadori e Luca Lussardi

Meccanica quantistica non relativistica

Editing

Antonio Bernardo

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© 2009 Matematicamente.it

Corso Umberto 27c

73010 San Donato di Lecce

Tel. fax 0832 657445

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Via Trento, 14

62100 Macerata

978 88 963 5401 8

ISBN: 3

Meccanica quantistica non relativistica

Indice

Prefazione . . . . . . 5

Introduzione . . . . . . 7

1. Le fondamenta della MQ

I quanti . . . . . 13

Il principio di indeterminazione . . 15

Ruolo della misura in MQ . . . 23

Dualismo onda-corpuscolo . . . 25

Funzioni d'onda . . . . 27

Grandezze fisiche . . . . 35

2. Caso unidimensionale

Posizione . . . . . 42

Quantità di moto . . . . 48

La funzione d'onda gaussiana . . . 53

Energia . . . . . 62

Esempi unidimensionali . . . . 69

Moto libero . . . . 69

Buca di potenziale rettangolare . 73

Gradino di potenziale . . . . 95

Oscillatore armonico . . . . 105

3. Caso pluridimensionale . . . . 115

Operatori posizione, quantità di moto, energia. Equazione stazionaria di Schrödinger . 118

Momento angolare . . . . 121

Autovalori ed autovettori dell'operatore 126

2

Autovalori dell'operatore î . . 128

Autofunzioni del momento angolare . 131

Atomo di idrogeno . . . . 139

Modello classico di Rutherford . . 141

Modello quantistico di Schrödinger . 150

4

Meccanica quantistica non relativistica

4. Evoluzione temporale

Operatore di evoluzione temporale . . 166

Equazione temporale di Schrödinger . . 171

Operatore di evoluzione temporale in forma integrale . . . . 174

Esempi numerici di propagazione della funzione d'onda . . . . 180

Moto libero . . . . 181

Buca di potenziale . . . . 184

Barriera di potenziale . . . . 186

Oscillatore armonico . . . . 187

Appendici

A. Richiami di matematica di primo livello

Numeri complessi . . . . . 191

Vettori . . . . . . 198

Funzioni a più variabili . . . . 205

B. Richiami di matematica di secondo livello

Spazio L2(Ω,C) e spazi di Hilbert . . 206

Cenno alla teoria delle distribuzioni . . 211

Trasformata di Fourier . . . . 214

L'equazione di Schrödinger . . . . 216

Abbreviazioni e convenzioni . . . . 218

Bibliografia essenziale . . . . . 219

Postfazione di Massimo Teodorani, Ph.D. . . 220

5

Meccanica quantistica non relativistica – Prefazione

Prefazione

Questo libro è dedicato a persone che possiedono buone conoscenze di matematica e fisica almeno (per il fondamentale primo capitolo) a livello di maturità scientifica.

Il libro è diviso nelle seguenti sezioni:

Introduzione alla meccanica quantistica non relativistica (MQ) (a cura di A. Amadori con la supervisione matematica di L. Lussardi):

• Capitolo 1: le fondamenta della MQ
• Capitolo 2: caso unidimensionale
• Capitolo 3: caso pluridimensionale
• Capitolo 4: evoluzione temporale.

Appendice A: richiami di matematica di primo livello (a cura di A. Amadori).

Appendice B: richiami di matematica di secondo livello (a cura di L. Lussardi).

Appendice C: varie (bibliografia, note, recensioni, ecc.)

Lo stile della sezione di “Introduzione alla MQ” è del tutto didattico/intuitivo. L'approccio alla MQ è perciò di taglio pratico e bada al sodo dei concetti fisici e della loro veste matematica.

Nelle sezioni di “Richiami di matematica” sono riportati i tools matematici necessari allo sviluppo della MQ. Gli argomenti di “primo livello” si intendono a livello di maturità scientifica. Gli argomenti di “secondo livello” sono a livello universitario.

Questi ultimi sono necessari per una seconda lettura approfondita dell'opera. Il libro, quindi, presenta due livelli di approccio: iniziale e approfondito. Il lettore potrà scegliere quello a lui più congeniale.

Qua e là è stato riportato materiale ricavato dalla e-school di matematica e fisica Le pagine www.arrigoamadori.com.

dell'e-school possono servire come opportuno punto di riferimento per i concetti fondamentali della fisica nonché per gli strumenti matematici di base. 6

Meccanica quantistica non relativistica – Prefazione

La presente introduzione della MQ non segue lo sviluppo storico. La creazione della MQ in forma di teoria compiuta occupò praticamente i primi tre decenni del ‘900 e risultò un processo assai complesso e travagliato. Si è preferito invece mostrare la teoria nella sua veste definitiva usando, per lo più, l'interpretazione di Schrödinger in termini di funzione d'onda (esistono in verità diverse interpretazioni della MQ del tutto equivalenti).

Ogni riferimento storico è quindi a titolo di esemplificazione e chiarimento e può non rispecchiare la reale cronologia degli eventi. Anche le attribuzioni delle invenzioni/scoperte ad uno o più scienziati, come si usa fare, è del tutto convenzionale.

I grafici e le varie elaborazioni numeriche mostrate in questo libro sono state effettuate con i programmi della suite di calcolo numerico della e-school di Arrigo Amadori pubblicata alla pagina:

http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/calcol onumericolnx.htm

In particolare, sono state sviluppate apposite routines per l'atomo di idrogeno e l'evoluzione temporale della funzione d'onda nel caso unidimensionale. Non è stato, invece, affrontato il problema della determinazione numerica degli autovalori ed autovettori dell'energia.

Una parte del materiale qui presentato è il frutto dell'esperienza acquisita in tre anni di corsi sperimentali pre-universitari tenuti da Arrigo Amadori presso il Liceo Scientifico A. Righi di Cesena. Desideriamo per questo ringraziare il Dirigente Scolastico Prof.ssa Dea Campana ed il Prof. Altenio Benedetti che hanno reso possibile questo esperimento didattico. Desideriamo infine ringraziare Antonella Valzania, segretaria del Circolo Matematico Cesenate, e la prof. Gabriella Lorenzo per il prezioso aiuto nella correzione delle bozze.

Arrigo Amadori

Luca Lussardi

Cesena, ottobre 2009 7

Meccanica quantistica non relativistica – Prefazione

Introduzione

Prima di tutto occorre avere ben chiaro lo schema delle teorie fisiche fondamentali. Per questo abbiamo predisposto la Figura 1.

Figura 1. Schema delle teorie fisiche

Le teorie fisiche consolidate si dividono in classiche e quantistiche, ma tutte si basano sulla Meccanica Classica (MC) che è la prima teoria su base scientifica (nel senso galileiano) della storia.

Le teorie fisiche di unificazione, non ancora consolidate, e quindi a livello di studio, tentano una fusione fra le suddette due grandi categorie. La grande difficoltà di questa operazione consiste nel fatto che teorie classiche e quantistiche sono inconciliabili sia a livello concettuale che, di conseguenza, a livello matematico.

La MC descrive con buona approssimazione i movimenti dei corpi (e le forze che li determinano) solo se ci si limita ai fenomeni ordinari (per i quali si suppone: velocità della luce = ∞ = e costante di Planck ).

c h 0

Se si intraprende lo studio dei fenomeni non ordinari quali:

• La radiazione elettromagnetica (che si propaga a velocità c
• Particelle che si muovono a velocità prossime a c
• Particelle atomiche o subatomiche,
• Campi gravitazionali particolarmente intensi prodotti da stelle collassate (stelle di neutroni o buchi neri),
• L'universo al suo inizio (secondo il modello del big bang),
• L'universo su larga scala,
• L'enigma della materia e dell'energia oscura ecc.,

la MC non è più valida e gli errori a cui essa conduce non sono più trascurabili.

Poiché il nostro cervello si è evoluto avendo esperienze con fenomeni ordinari, è chiaro che il senso comune, frutto di questa evoluzione, non è valido per comprendere ciò che è ad esso estraneo.

La MC aderisce perfettamente al senso comune, ne è per così dire il suo suggello scientifico. Per questo, la comprensione dei fenomeni non ordinari rappresenta una sfida intellettuale titanica, iniziata a metà ‘800, e non ancora conclusa.

La costruzione di teorie fisiche più generali deve però soddisfare il seguente principio fondamentale:

→ → ∞ →

MC per

NUOVE TEORIE c, h 0

proprio perché la MC descrive ottimamente i fenomeni ordinari.

Qual è l'ambito proprio della MQ (meccanica quantistica non relativistica) oggetto di questo libro?

La MQ si occupa dei fenomeni su scala atomica e subatomica relativi alle particelle dotate di velocità non prossime alla velocità della luce e non considerando il campo gravitazionale.

, o

Quando, invece, la velocità delle particelle è prossima a c, quando si considera la luce stessa (sempre non considerando il campo gravitazionale), occorre la meccanica quantistica relativistica (non oggetto di questo libro).

Ma torniamo allo schema delle teorie fisiche.

La divisione delle teorie fisiche in classiche e quantistiche è fondamentale:

• Una teoria classica si basa sul concetto di traiettoria continua, ovvero una particella è dotata in ogni istante di posizione e velocità determinate che variano con continuità. Anche le grandezze che caratterizzano i campi di forze sono grandezze continue che variano con continuità;
• Una teoria quantistica nega l'esistenza di traiettorie continue e si basa sul concetto di probabilità.

Elenchiamo brevemente le principali teorie e le loro caratteristiche sintetizzandole nella seguente Tabella 1.

Meccanica classica (MC)

Si basa sul principio di relatività galileiana:

• Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti;

Ed i tre principi della dinamica di Newton (1687):

• Un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme (principio d'inerzia);
• Un corpo soggetto ad una forza subisce un'accelerazione proporzionale alla forza stessa (F = m ⋅ a);
• A ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria (principio di azione e reazione).

Lo spazio è relativo (trasformazioni di Galileo) ed il tempo è assoluto.

Le forze fra i corpi si esercitano istantaneamente (azione a distanza).

Conosciute le leggi di forza, posizioni e velocità di tutti i punti materiali di cui è composto un sistema meccanico in un dato istante iniziale è possibile conoscere posizione e velocità di ogni suddetto punto materiale in un qualunque istante successivo (Laplace, determinismo classico).

Nella MC è contemplata la legge di gravitazione universale di Newton

m 1 m 2

F = G 2

R 10

Meccanica quantistica non relativistica – Prefazione

Teoria del campo elettromagnetico di Maxwell

I fenomeni elettromagnetici sono descritti dai vettori E (vettore campo elettrico) e B (vettore campo magnetico).

Le proprietà matematiche del campo elettromagnetico e come esso è generato dalle cariche sono descritte dalle quattro equazioni di Maxwell.

L'interazione del campo elettromagnetico con le cariche è descritta dalla legge di Lorentz.

Le equazioni di Maxwell prevedono che il campo elettromagnetico si propaghi nello spazio con velocità c (nel vuoto) sotto forma di onde elettromagnetiche.

Viene perciò per la prima volta introdotto il concetto di campo che si propaga con velocità finita.

Teoria della relatività ristretta (RR)

Si basa sul principio di relatività ristretta (Einstein, 1905):

• Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti;
• La velocità della luce è la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale.

Si introduce il concetto di cronotopo (spazio-tempo quadridimensionale) come continuum inscindibile.

Le coordinate spazio-temporali di due sistemi di riferimento inerziali sono legate dalle trasformazioni di Lorentz.

Da esse dipendono la relatività dello spazio ma anche del tempo, la contrazione di Lorentz delle lunghezze, la dilatazione del tempo, la perdita di assolutezza del concetto di simultaneità ecc..

Insuperabilità della velocità della luce.

Equivalenza di massa ed energia (E = mc²).

La RR è coerente con la teoria del campo elettromagnetico di Maxwell.

La RR non contempla il campo gravitazionale.

→ → ∞

MC, per .

RR c 11

Meccanica quantistica non relativistica – Prefazione

Teoria della relatività generale (RG)

E’ una teoria del campo gravitazionale e si basa sul principio di equivalenza:

• La massa gravitazionale è equivalente alla massa inerziale;

Ovvero:

• Tutti i corpi cadono (nel vuoto) con la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa;

Ovvero:

• Un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale.

Le masse creano il campo gravitazionale che incurva il cronotopo. La geometria del cronotopo quindi non è euclidea.

Un punto materiale si muove nel cronotopo seguendone una linea geodetica (di minima lunghezza).

Un raggio di luce si propaga nel cronotopo seguendo un particolare tipo di geodetica.

Principio di relatività generale:

• Le leggi della fisica devono essere invarianti rispetto ad una trasformazione qualunque delle coordinate (spazio-temporali).

La RG contiene la RR come caso particolare in cui è assente il campo gravitazionale.

→ gravitazione di Newton, per campi

RG

gravitazionali deboli.

Meccanica quantistica non relativistica (MQ)

Si basa principalmente sul principio di indeterminazione di Heisenberg (1927):

Δ x ⋅ Δ p ≅ h

dove Δ x è l'indeterminazione della posizione e Δ p è l'indeterminazione della quantità di moto.

In MQ non esiste il concetto di traiettoria continua e la descrizione di un sistema quantistico avviene tramite la funzione d'onda Ψ.

Il modulo quadro della funzione d'onda Ψ² rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in un dato punto dello spazio.

Secondo la MQ l'energia è quantizzata, ovvero assume valori discreti (a parte eccezioni).

I valori dell'energia che può assumere un sistema quantistico sono determinati dall'equazione stazionaria di Schrödinger (1926).

L'evoluzione nel tempo della funzione d'onda è descritta dall'equazione temporale di Schrödinger (1926).

Non soddisfa il principio di relatività ristretta.

Non contempla il campo gravitazionale.

→ →

MC, per .

MQ h 0

Meccanica quantistica relativistica

Essa soddisfa il principio di relatività ristretta.

Ipotizza la quantizzazione del campo elettromagnetico in particelle dette fotoni di energia E = h ⋅ ν, dove ν è la frequenza della radiazione.

Ipotizza il dualismo onda-corpuscolo.

Comprende il concetto di spin, di particella-antiparticella ecc..

Non contempla il campo gravitazionale.

Modello standard

Descrive le particelle interessate dall'interazione elettrodebole (elettromagnetica e nucleare debole) e nucleare forte in un unico quadro concettuale quantistico.

Non contempla il campo gravitazionale.

Teorie di unificazione

Tentano l'unificazione fra il modello standard e la RG.

Non sono ancora state verificate sperimentalmente.

Tabella 1. Caratteristiche delle teorie fisiche 13

Meccanica quantistica non relativistica – Capitolo 1

1. Le fondamenta della MQ

In questo capitolo forniamo i concetti di base fisici e matematici della MQ.

Le basi fisiche della MQ sono essenzialmente:

• La quantizzazione dell'energia (i quanti), il principio di indeterminazione, il dualismo onda-corpuscolo, il principio di corrispondenza ed il principio di sovrapposizione.

La base matematica della MQ, invece, è piuttosto monolitica:

• L'analisi funzionale nello spazio di Hilbert L², ovvero, funzioni considerate vettori ad infinite dimensioni su cui si definisce un particolare prodotto interno e certi operatori che agiscono su di essi.

Questi capisaldi della MQ sono stati scoperti ed introdotti, certamente non nell'ordine con cui li abbiamo elencati, nei primi tre decenni del ‘900 durante la tumultuosa costruzione della MQ. Si pensi che il più importante, il principio di indeterminazione, fu proposto da Heisenberg nel 1927, alla fine del processo di costruzione della MQ ed addirittura dopo la scoperta dell'equazione di Schrödinger (1926).

1.1 I quanti

La MQ nasce fra ‘800 e ‘900 a causa del fallimento di tutti i tentativi di applicare la teoria del campo elettromagnetico di Maxwell nelle seguenti situazioni:

• Spettro di emissione del corpo nero. Un corpo nero è un corpo ideale che ha la capacità di assorbire completamente ogni radiazione elettromagnetica che lo colpisce (da cui il nome). Un corpo nero, posto alla temperatura T emette radiazione elettromagnetica e lo spettro di emissione,