Prodotto cartesiano
Siano definiti due insiemi A, B con a ∈ A, b ∈ B.
Definiamo ora il concetto di coppia ordinata (a, b).
La coppia ordinata (a, b) è l'insieme formato degli elementi {a, b} in cui si deve specificare quale è il primo e quale il secondo degli elementi.
Nel caso specifico bisogna specificare che a è il primo e b il secondo elemento.
Assumiamo, invece, che per gli insiemi sia indifferente l'ordine con cui gli elementi vengono elencati. Quindi, mentre due insiemi aventi gli stessi elementi sono uguali, due coppie ordinate (a, b) e (a', b') sono uguali se e solo se a = a' e b = b'.
Prodotto cartesiano
Dati gli insiemi A, B.
Considero che a ∈ A, b ∈ B.
Prendiamo tutte le possibili coppie in cui la prima componente è l'elemento di A e la seconda componente è l'elemento di B. L'insieme ottenuto è il prodotto cartesiano A × B.
Quindi A × B è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) dove a ∈ A e b ∈ B.
In generale il prodotto cartesiano di due insiemi dipende dall'ordine in cui consideriamo i due insiemi.
A × B ≠ B × A
Es. A = {1, 2} B = {a, b, c}
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Il problema non si pone quando abbiamo prodotto cartesiano di un insieme per se stesso.
A × A è l'insieme delle coppie ordinate in cui sia il primo che il secondo elemento delle coppie appartengono ad A.
A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = A2
Prodotto cartesiano di tre o più insiemi
A ∈ A
B ∈ B
C ∈ C
(a, b, c) sono dette terne ordinate.
A × B × C è l'insieme delle terne ordinate (a, b, c) dove a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C; A × A × A = A3
A questo punto si possono considerare degli insiemi A1, A2, ..., An con a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, an ∈ An.
(a1, a2, ..., an) si fa chiamare ordinata di "n" elementi chiamate n-pla (ennupla).
A1 × A2 × ... × An è l'insieme di tutte le n-uple
in cui a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, an ∈ An.
Es. Q3 = {(a, b, c); a ∈ Q, b ∈ Q, c ∈ Q}
(1/2, -3/4, 5/6) ∈ Q3 - Questa terna ordinata è un elemento del prodotto cartesiano Q3
R2 = R × R = {(a, b); a ∈ R e b ∈ R}
Questo insieme può essere messo in corrispondenza con il piano euclideo - c'è una corrispondenza fra punti del piano e l'insieme R2 (e viceversa) -
Assegno una unità di misura "u" e supponiamo che ad ogni punto di r si possa associare un numero reale e viceversa -
A questo punto, assegnato un punto P nel piano possiamo proporre le coppie ordinate che lo identificano.
Traccio le parallele ad s passante per il punto P che interseca r nel punto P1 e trovo l'ascissa (a); traccio la parallela ad r passante per il punto P che interseca s nel punto P2 e trovo l'ordinata (b).
Allo stesso modo è possibile, assegnate le coppie ordinate (a, b), determinare un punto P nel piano.
La corrispondenza, come si nota, è biunivoca cioè a coppie ordinate corrispondono punti distinti e viceversa.
Proprietà dei sottoinsiemi di R2
(Sottoinsiemi del piano cartesiano)
È necessario, come premessa, esporre delle formule per determinare:
La distanza fra due punti e il punto medio di un segmento.
Ci aiutiamo coi grafici seguenti.
P1 = (x1, y1)
P2 = (x2, y2)
La distanza fra P1 e P2 è uguale alla seguente formula:
(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Ci sono due casi particolari da considerare:
I punti hanno le stesse ordinate ma diverse ascisse e le stesse ascisse.
P1 = (x1, y1)
P2 = (x2, y1)
d P1P2 = |x2 - x1|
La distanza P1P2 è il valore assoluto della differenza delle ascisse.
Lo stesso vale per il Q1Q2 = |y2 - y1|
Vedremo quindi, il caso generale con ascisse ed ordinate note, di afferenze -
Per ottenere la formula generale applico il teorema di Pitagora considerando il triangolo P1P2H.
d(P1P2) = sqrt((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
Questa formula la si può applicare anche nei due casi particolari citati precedentemente.
Punto medio di segmento P1P2
M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)
Le coordinate del punto M le trovo facendo la semisomma delle ascisse e la semisomma delle ordinate.
A questo punto si possono trattare i sottoinsiemi del piano detti anche luoghi geometrici - luogo geometrico. Sono insiemi di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà (proprietà di tipo geometrico).
Esempi: definito r > 0, determinare l'insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da un punto C - Si tratta della circonferenza di centro C e raggio r.
Oppure: esempio: i punti P1 e P2, trovare tutti i punti equidistanti da P1 e P2. Qui si tratta dell'asse del segmento P1P2.
Oppure: esempio: tre punti non allineati, qual è l'insieme dei punti equidistanti dai tre punti essendo P1, P2, P3?
In questo caso l'insieme è l'intersezione dei tre assi ovvero il circocentro del triangolo.
Le proprietà geometriche possono anche non essere soddisfatte da nessun punto del piano. [testo illeggibile]
Analisi cartesiana
Cosa accade se esprimo in delle coordinate i punti -
Ho un punto P0 = (x0, y0) che ha una certa proprietà geometrica, appartenente ad un luogo geometrico.
P0 = (x0, y0) proprietà geometrica
Questa proprietà geometrica si traduce in una relazione algebrica fra x0 e y0.
Quindi possiamo tradurre una proprietà geometrica in relazione algebrica tra le coordinate del punto e viceversa, cioè le relazioni algebriche tra le coordinate del punto soddisfano le certe proprietà geometriche.
Cioè, quindi, il punto P0 è al sottoinsieme del piano se e solo se le coppie (x0, y0) soddisfano una certa relazione - introduciamo quindi il discorso di equazione e disequazioni che sono delle relazioni - l'appartenenza al sottoinsieme del piano si traduce, dal punto di vista algebrico, nel fatto che x0, y0 soddisfino una equazione F(x0, y0) = 0 oppure una disequazione F(x0, y0) > 0; < 0; >= 0; <= 0.
Queste proprietà saranno valide per tutti e soli i punti che è al sottoinsieme che voglio.
A tale fine avremo: una proprietà geometrica, l'insieme di tutti i punti che soddisfano quella proprietà geometrica, una relazione algebrica e l'insieme di tutte le coppie di numeri reali che soddisfano questa relazione algebrica.
Intendiamo coi luoghi geometrici descritti da rette.
Esempio: la proprietà geometrica è:
L'insieme dei punti del piano che hanno distanza = r da un punto C fissato nel piano. Fisso un punto C = (x0, y0) e chiedo di determinare l'insieme dei punti P tali che d(P, C) = r.
Dal punto di vista algebrico identifico un punto P = (x, y) e ci chiediamo qual è la relazione di tipo algebrico che mi permette di identificare tutti e soli i punti P che godono di questa proprietà: d(P, C) = r.
Applico la formula della distanza fra due punti:
√((x - x0)2 + (y - y0)2) = r
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
Questa relazione algebrica è soddisfatta solo dalle coppie (x, y) di punti che stanno sulla circonferenza.
Questa è l'equazione della circonferenza di centro C e raggio r. L'equazione al sottostante del piano si è racchiusa in una equazione.
Per tradurla in una disequazione si procede per l'esempio in cui si hanno tutti gli elementi precedenti su un punto P.
Quindi d(P, C) < r.
Geometricamente è il cerchio (che ha come bordo la circonferenza di raggio r, esclusa la circonferenza stessa) i cui punti hanno distanza da C < r.
Algebricamente si produce sostituendo alla formula dell'esempio precedente il < ed ottenendo:
(x - x0)2 + (y - y0)2 < r2
Quindi abbiamo:
- Una proprietà geometrica -> d(P, C) = r; d(P, C) < r
- Un sottoinsieme del piano -> circonferenza, cerchio
- Una relazione algebrica -> equazione, disequazione
Esempio. Fissato un punto P generico (coordinate (x, y)) determinare l'insieme dei punti per
Esempio: insieme dei punti equidistanti da P1 e P2
Fissato un punto P e le sue generiche coordinate (x, y), dobbiamo imporre che le distanze da P1 e P2 sia uguale. Quindi
√((x − x1)2 + (y − y1)2) = √((x2 − x)2 + (y2 − y)2)
x2 + x12 − 2x1x + y2 + y12 − 2y1y = x22 + x2 − 2x2x + y22 + y2 − 2y2y
2(x2 − x1)x + 2(y2 − y1)y + x12 + y12 − x22 − y22 = 0
Relazione algebrica che mi dà l'asse del segmento
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