Il piano cartesiano. Sottoinsiemi del piano

PRODOTTO CARTESIANO

Siano definiti due insiemi A, B con a ∈ A, b ∈ B.Definiamo ora il concetto di coppie ordinate (a, b).

La COPPIA ORDINATA (a, b) è l'insieme formato dagli elementi a, b in cui si deve specificare qual è l'ordine degli elementi. Nel caso specifico bisogna specificare fra "a" e "b" quale è il primo e quale il secondo elemento.

Abbiamo visto, invece, che per gli insiemi è indifferente l'ordine con cui gli elementi vengono elencati. Quindi, mentre due insiemi aventi gli stessi elementi sono uguali, due coppie ordinate (a, b) e (a', b') sono uguali se e solo se a = a' e b = b'.

PRODOTTO CARTESIANO

Detti gli insiemi A, B considerati che a ∈ A b ∈ B.Prendiamo tutte le possibili coppie in cui la prima componente è elemento di A e la seconda componente è elemento di B. L'insieme ottenuto è il prodotto cartesiano A × B. Quindi A × B è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) dove c ∈ A e b ∈ B. In generale il prodotto cartesiano di due insiemi di prende dall'ordine in cui consideriamo due insiemi.

Prodotto Cartesiano

Siano definiti due insiemi A, B

con a ∈ A, b ∈ B

Definiamo ora il concetto di coppie ordinate (a, b).

Le coppia ordinata (a, b) è l'insieme formato

dagli elementi a, b in cui si deve

specificare quale è l'ordine degli elementi.

Nel caso specifico bisogna specificare fra “a” e “b”

quale è il primo e quale il secondo

elemento.

Abbiamo visto, invece che per gli insiemi è

indifferente l'ordine con cui gli elementi

vengono elencati. Quindi, mentre due insiemi

aventi gli stessi elementi sono uguali, due

coppie ordinate (a, b) e (a', b')

sono uguali

se, e solo se, a = a', b = b'.

Prodotto Cartesiano

Detti gli insiemi A, B

considerati che a ∈ A, b ∈ B.

Prendiamo tutte le possibili prime

componenti e elementi di A e la seconde

componenti e elementi di B. L'insieme

ottenuto è il prodotto cartesiano A × B.

Quindi A × B è l'insieme delle coppie ordinate

(a, b) dove a ∈ A, b ∈ B. In generale

il prodotto cartesiano di due insiemi di prendere

dall'ordine in cui consideriamo due insiemi.

AxB ≠ BxA

Es: A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c}

AxB = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

BxA = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

Il problema non si pone quando abbiamo il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso.

A x A è l'insieme delle coppie ordinate in cui sia il primo che il secondo elemento delle coppie appartengono ad A.

A x A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = A²

Prodotto cartesiano di tre o più insiemi:

A ∈ A

B ∈ B

C ∈ C

(a, b, c) son dette terne ordinate

AxBxC è l'insieme delle terne ordinate (a, b, c) dove a∈A, b∈B, c∈C . A x A x A = A³

A questo punto si possono considerare degli insiemi A₁, A₂, Aₙ con a₁∈A₁, a₂∈A₂, a_n∈Aₙ

(a₁, a₂, aₙ) è la collezione ordinata di "n" elementi chiamato n-pla (n-upla)

A₁×A₂×A_n è l'insieme di tutte le n-uple in cui a₁∊A₁, a₂∊A₂, a_n∊A_n

es. Q³ = ξ(a, b, c) ; a∊ℚ, b∊ℚ, c∊ℚ

⏦ ⌊ ½ | -⅗ | ⅚ ⌋ ⏧ ∊ Q³ → Questa terna ordinata è un elemento del prodotto cartesiano Q³

ℝ² = ℝ×ℝ = ζ(a, b) ; a∊ℝ e b∊ℝ

Questo insieme può essere messo in corrispondenza con il piano euclideo —

C'è una corrispondente fra punti del piano e l'insieme ℝ² (e viceversa) —

_S│

_U│

_O────_N

Assegniamo una unità di misura "U" e supponiamo che ad ogni punto dei ℝ e del possiamo associare un numero reale e viceversa—

A questo punto, scelto un punto nel piano possiamo trovare le coppie ordinate che lo identificano —

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Traccio le parallele ad s passante per il punto p che interseca t

in r nel punto p e trovo l’ascissa (a); traccio le parallele ad r passante per il punto p che interseca s nel punto p ed e trovo l’ordinato (b).

Allo stesso modo è possibile essendo le coppie ordinate (a, b), determinare un punto p nel piano.

La corrispondenza come si nota e biunivoca cioè a coppie distinte corrispondono punti distinti e viceversa.

PROPRIETA’ DEI SOTTOINSIEMI DI R²(SOTTOINSIEMI DEL PIANO CARTESIANO)

E’ necessary come premessa di esporre delle formule per determinare:

Le distanze fra due punti e Punto medio di un segmento.

Ci aiutano coi properi segmento.

P₁ = [x₁, y₁]

P₂ = [x₂ y₂]

La distanza fra P₁ e P₂ è data dallaseguente formula:

P₁P₂ = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]

Ci sono due casi particolari da considerare:i punti hanno la stessaordinata o la stessa ascissa.

P₁ = [x₁, y₁]

P₂ = [x₂ y₁]

d P₁P₂ = |x₂-x₁|

La distanza P₁P₂ è data dal valoreassoluto della differenza delleascisse.

Lo stesso vale per di Q₁Q₂ = |y₂-y₁|

Vediamo quindi il caso generale con

x scisse ed ordinate di differente

_{y2 - y1}

_{x2 - x1}

Per ottenere le formule generali applico

il teorema di pitagora considerando il

triangolo P₁P₂H.

d(P₁P₂) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Questa formula la si può applicare anche

nei due casi particolari citati precedentemente

Punto medio del segmento P₁P₂

M_P = [_{2, y1 + y2}]

Le coordinate del punto M le trovo facendo

la semisomma delle ascisse e la semisomma

delle ordinate -

A questo punto si possono introdurre i sottoinsiemi del piano detti anche LUOGHI GEOMETRICI.

LUOGO GEOMETRICO: sottoinsieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà [proprietà del tipo geometrico].

ESEMPI: Definito un N, si determina l'insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza uguale ad N da un punto C. Si tratta delle circonferenze di centro C e raggio N.

Oppure: assegnati i punti P_i e P_j trovare tutti i punti equidistanti da P_i e P_j. Qui si tratta dell'asse del segmento P_iP_j.

Oppure: assegnati tre punti non allineati quale è l'insieme dei punti equidistanti dai tre punti esempio P₁, P₂, P₃?

Su in questo caso l'insieme è l'intersezione dei tre assi ovvero il circocentro del triangolo.

Le proprietà geometriche può anche non essere soddisfatte da nessun punto del piano.

Cose accade se esprimiamo

delle coordinate ai punti -

Ho un punto P₀=[x₀,y₀] che ha una certa

proprietà geometrica appartenente ad un luogo

geometrico.

Questa proprietà

geometrica si traduce —>

in una relazione algebraica

fra x₀ e y₀.

Quindi possiamo tradurre una proprietà

geometrica in relazione algebraica fra le

coordinate del punto e viceversa, cioè la

veridicità della relazione algebraica fra le

coordinate del punto, soddisfa una certa

proprietà geometrica —

Quindi il punto P₀ è al sottoinsieme

del piano se, e solo se la coppia (x₀,y₀)

soddisfa una certa relazione - Introdurremo,

quindi, il discorso di equazione

e disequazione che sono delle relazioni -

L'appartenenza al sottoinsieme del piano si

traduce al punto di vista algebrico, nel

fatto che x₀, y₀, soddisfano una

equazione F(x₀,y₀)=0 oppure una

disequazione F(x₀,y₀)

0.

Queste proprietà sono valide fra tutte e soli i

punti di E al sottoinsieme che voglio -

Alla fine avremo _: una proprietà geometrica,

l’insieme di tutti i punti che soddisfano

quella proprietà geometrica, una relazione

algebrica e l’insieme di tutte le coppie

di numeri reali che soddisfano questa

relazione algebrica.

Iniziamo con luoghi geometrici distinti da

rette.

ESEMPIO: la proprietà geometrica è:

l’insieme dei punti del piano che hanno

distanza = r da un punto C fissato nel

piano. Fisso un punto c = (x_o, y_o) e

chiedo di determinare l’insieme dei

punti P tali che d(P,C) = r.

Dal punto di vista algebrico

identifico un punto P = (x, y) e

ci chiediamo qual è la relazione

di tipo algebrico che mi permette

di identificare tutti e soli i punti P

che godono di questa proprietà d(P,C)= r.

Applico la formula delle distanze fra

due punti:

√[(x-x_o)² + (y-y_o)²] = r

(x-x_o)² + (y-y_o)² = r²

Questa relazione

algebrica è soddisfatta

solo dalle coppie (x, y) dei

punti che stanno sulla circonferenza.

Questa è l'equazione della circonferenza di centro C e raggio r. L'appartenenza al sottoinsieme del piano si è tradotto in un'equazione.

Per tradurla in una disequazione si può fare "l'esempio" in cui si hanno tutti gli elementi precedenti con r₀.

Quindi d(P,C)∈ℝ₊

Geometricamente è il cerchio che ha come bordo la circonferenza di raggio r, esclusa la circonferenza stessa, i cui punti hanno distanza da C < r e ∈ℝ.

Algebricamente si traduce sostituendo alla formula dell'"esempio" precedente il "≤" ed otteniamo: (x-x_o)²+(y-y_o)²≤r²

Quindi otteniamo: una proprietà

• geometrica → d(P,C)=r; d(f,C)=Ł r
• un sottoinsieme del piano → circonferenza / cerchio
• una relazione algebrica → equazione / disequazione

Esercizio. Fissato un punto P generato da coordinate (x/y) determinare l'insieme dei punti RB