Idraulica: Campi di moto di fluidi reali

Numero di Froude

Analizzeremo il fluido reale che in un brevissimo spazio subisce forti accelerazioni pur rimanendo in moto permanente. Tratteremo il caso di una vena liquida che fuoriesce da un orifizio o uno sfioro, il cui moto è soggetto principalmente alla forza di gravità e non risente delle forze dissipative, considereremo perciò il fluido come perfetto e incomprimibile.

La traiettoria della vena è influenzata dal rapporto tra la forza di gravità e la forza di inerzia, in caso di efflusso in un fluido più pesante si terrà conto della spinta di Archimede e quindi tra le forze di gravità si deve considerare la differenza di pesi specifici tra i fluidi.

Considerando l’efflusso di acqua in aria possiamo trascurare la differenza di pesi specifici e possiamo scrivere il rapporto tra le forze di inerzia e le forze di gravità come: 2 2 2. . = = =3. . �

Si definisce così un numero adimensionale detto numero di Froude.

Vediamo come si comporta questo parametro nel caso del prototipo e del modello: = = = � = √ � �

E questo ci dimostra che se è rispettata la similitudine di Eulero = � = allora è rispettata anche la √ ∆ similitudine di Froude rispetto alla scala geometrica.

Efflusso libero da luci in parete sottile senza gravità

L’efflusso da una luce in parete sottile è caratterizzato da un fenomeno di contrazione della vena per adattare l’ambiente interno a pressione con l’ambiente esterno a pressione atmosferica.

Si arriva alla cosiddetta sezione di vena contratta dove cessa la curvatura delle linee di corrente e si ha distribuzione idrostatica delle pressioni.

Il rapporto fra la sezione contratta e la sezione del foro di uscita si definisce coefficiente di contrazione che è stato dimostrato da Kirchhoff valere, per luce bidimensionale e foro molto piccolo rispetto al recipiente: = = 0,611 → 0 + 2

Se invece il rapporto è lontano dallo zero, l’andamento �del reticolato di flusso deve adattarsi alla presenza delle pareti e questo andamento va a modificare il valore del coefficiente di contrazione.

Parametri del coefficiente di contrazione

Vediamo i parametri che influenzano questo coefficiente: �, = , �

Una volta noto il coefficiente di contrazione si può passare a ricavare la portata effluente, servendoci del teorema di Bernoulli e dell’equazione di continuità.

Considerando la velocità all’interno del recipiente e la velocità 0 nella sezione di vena contratta potremmo scrivere:02 2 . + = + . à = 0 2 222 2∆ 1�1 �∆ = − � � = �2 2� � 1 − �

Si potrà quindi scrivere sapendo che ∆ = ∆ℎ = �2∆ℎ = �2∆ℎ2� � 1 − �

Introducendo il cosiddetto coefficiente di portata che dipende esclusivamente dalla configurazione geometrica del sistema.

Velocità torricelliana

Consideriamo un recipiente riempito di un liquido fino all’altezza ℎ e provvisto di 0 una luce circolare di sezione sul fondo orizzontale in parete sottile. La luce sia di piccole dimensioni rispetto alla dimensione del recipiente.

Sia sulla superficie libera − sia in quella − è presente pressione atmosferica e vale la distribuzione idrostatica delle pressioni, inoltre la velocità all’interno del serbatoio si può considerare nulla.

Possiamo scrivere Bernoulli per le due sezioni ottenendo:02 2 2 + = − ℎ + ℎ = = �2ℎ1 1 1 2 2 2

Conosciuta come velocità torricelliana, derivante da un carico ℎ nell’efflusso di un fluido perfetto.

Luce in parete verticale

Consideriamo ora il caso di una vena effluente liberamente da una luce praticata sulla parete verticale di un recipiente.

In caso di foro molto piccolo e velocità di uscita molto veloce per far sì che la gravità non ne influenzi il moto, allora si potrà scrivere ancora la relazione: = ≅ 0,61�2ℎ

Ma nel caso più comune di luci di grandi dimensioni questa relazione è solo approssimativa, infatti l’ipotesi che i punti della vena siano tutti alla stessa profondità non è più valida.

Consideriamo allora il caso più semplice di una luce rettangolare verticale larga e suddividiamone l’altezza ℎ − ℎ in tratti elementari di altezza 2 1ℎ si avrà la portata elementare: ℎ 2� = ℎ�2ℎ = ℎ�2ℎ ℎ 1

Secondo l’ipotesi di Poleni supponiamo che il coefficiente di contrazione sia costante per ogni altezza e otteniamo:2 3 3� �2 2 = 2 �ℎ − ℎ �� 2 13

Il valore può assumersi pari a 0,61 per una luce molto larga in confronto all’altezza.

Se però non si potesse trascurare la velocità all’interno del 0 recipiente allora secondo Bernoulli la relazione appena vista si dovrebbe riscrivere come:3 3� �02 022 22 = 2 ��ℎ + � − �ℎ + � �� 2 13 2 2

Nel trovare questa relazione abbiamo però commesso almeno due errori abbastanza importanti che però si compensano tra loro e sono:

• Le luci elementari sono attraversate da fluido con contorni curvilinei e non avrei potuto applicare la velocità torricelliana poiché non c’è distribuzione idrostatica delle pressioni
• Assumendo ≅ 0,61 si è sottostimata la sezione di efflusso

Notiamo inoltre come sulla figura in prossimità della parete il pelo libero dell’acqua si innalzi leggermente di unaqu