Idraulica - Appunto 2

Teorema II

Sia G una grandezza fisica la cui misura dipende dalla misura di altre grandezze fisiche, ossia G è funzione di altre grandezze:

G = f (G₁, G₂, ..., G_m)

Supponiamo che fra le n grandezze da cui dipende G, ce ne siano tre dimensionalmente indipendenti (condizione necessaria) ed assumiamo queste tre grandezze come fondamentali di un nuovo sistema di riferimento. Siano G₁, G₂, G₃ tali grandezze fondamentali del nuovo sistema di riferimento; tra che

[G] = [G₁^αG₂^βG₃^δ]

G_m = G₁^α_mG₂^β_mG₃^δ_m

[G_m] = G₁^d_mG₂^p_mG₃^δ_m

Quindi

G = f (G₁, ..., G_n) per G₁ = 1₀, G₂ = 3₀, G₃ = 5⇒ G = f (G₁, ..., G_m) [G]

Considerazioni sulle dimensioni

A questo punto è bene fare una considerazione: se le dimensioni d, p, δ di una grandezza sono tutte nulle, allora si ottiene un numero dimensionale e un numero puro ed è un numero Uso.

1 = G₁^d₀G₂^p₀G₃^δ₀

Teorema II (ripetizione)

Sia G una grandezza fisica la cui misura dipende dalla misura di altre grandezze fisiche, ossia G = f(G₁, G₂, ..., G_m).

Supponiamo che fra le n grandezze da cui dipende G, ce ne siano tre dimensionalmente indipendenti (condizione necessaria) ed eleggiamo queste tre grandezze come fondamentali di un nuovo sistema di riferimento.

1. Siano G₁, G₂, G₃ tali grandezze fondamentali del nuovo sistema di riferimento, sicché

[G] = [G₁^α₁ ⋅ G₂^β₁ ⋅ G₃^δ₁]

[G₄] = [G₁^α₄ ⋅ G₂^β₄ ⋅ G₃^δ₄]

[G_n] = [G₁^α_n ⋅ G₂^β_n ⋅ G₃^δ_n]

Dividiamo G = f(G₁, ..., G_n) per (G_10, G_20, G₃₀) = G^-0 ⇒ G / [G₁^α₀ ⋅ G₂^β₀ ⋅ G₃^δ₀] = F(G₁, ..., G_m)

Considerazioni sulle dimensioni

A questo punto si deve fare una considerazione: se le dimensioni p, β, δ di una grandezza sono tutte nulle, allora si ottiene un numero dimensionale e un numero puro. È un numero = uno.

[G] = G₁^α₀ ⋅ G₂^β₀ ⋅ G₃^δ₀

f(G₁, ..., G_n) = f₁(G₁^d₁G₂^d₂G₃^d₃, ..., G₁^d_mG₂^d_mG₃^d₃) funzioni di scalari

G₁ = -1 G_i^α_iG₂^α₂G₃^α₃

G₂ = -1 G_i = -1 G_i^α₂G₃^α₃

Monomio che ha le e non dimensioni G_u

Quindi G = f₁(G₄ G_n)

Esempio pendolo semplice

T-Periodo

T = F(l, m, g)

[l] = l¹ T°M° [m] = l° T°M¹ [g] = l¹T^-2M°

1 0 0 0 1 0 1 -2 0

[T] = l⁰ t⁻¹ M⁰ e⁻¹ g⁰ = l⁰ t¹ M⁰ | e¹ | m⁰ | g⁰

│ ┌────────┐ ┌────────┐ ┌────────┐ │ e m g = l⁻¹ t⁰ M¹ | O | T⁰ | O | t⁰ M¹ | O | │ │ ┌────────┐ ┌────────┐ │

e¹ m g = costante (numero puro)

T = √e/g tramite delle esperienze = trova che k = 2π

Equazione costitutiva reologica

x = x_i i_i + y_i j_i + z_i sp = p_i ds i + ds i ------------------ i ----------------+ x = x_i i_i + y_i j_i + z_i s

ds = x e⁻¹ i ---------------- iv = − (d/dt) ---------------- d_i t

per dt = O/v -----------

i ha la velocita' istantanea v = v_x i_i + v_y j_i + v_z s

v = v(x, y, z, t)

Il moto può essere:

1. Triimensionale
2. Bidimensionale: piano

v = v(x, z, t) v_y = 0

3. Unidimensionale

v = v(x)

Il moto può dipendere o meno dal tempo. Se il moto dipende dal tempo si dice stazionario e permanente se dipende dal tempo si dice vario.

Moto qualiforni

La velocità non dipende da nessun parametro

Descrizione fisica del campo di moto

Linee di corrente: sono in ogni istante tangenti al vettore v_oleum

Luogo dei punti che

Traiettorie: luoghi dei punti che una particella occupa successivamente nello spazio.

Nel moto stazionario Linee di corrente e traiettorie coincidono.

Linee di flusso: luogo dei punti successivamente occupati nello spazio della particella che passano per un medesimo punto del campo di moto. Se un fluido si muove di moto permanente le linee di fumo coincidono con le traiettorie e quindi anche con le linee di corrente. Nel caso di moto vario sono tutte e tre distinte.

Rappresentazione Lagrangiana di un campo di moto

Dato l'istante t = 0 ed to (posizione iniziale) di una particella, x = at = t (t₀)...che è la traiettoria delle particelle....l'insieme di tutte le particelle descrive il campo di moto.

Rappresentazione Euleriana

Descrive il campo di moto attraverso il suo vettore velocità.

v = v (x_c, t)

\[v = \frac{dr}{dt}\]

Associamo uno scalare al fluido (ad esempio la temperatura) xa l (tale scalare) in tale che l (x_e, y, z, t) se ne vuole calcolare la variazione nell'unità di tempo:

\[\frac{dl}{dt}\] = Variazione di l in un punto prefisso nel tempo

Quindi la variazione totale è data da:

\[\frac{dl}{dt} = \frac{\partial l}{\partial x} dx + \frac{\partial l}{\partial y} dy + \frac{\partial l}{\partial z} dz + \frac{\partial l}{\partial t} dt \]

\[\frac{1}{dt}\]

dx = v_x dt i + v_y dt j + v_z dt k =>

\[\left\{ \begin{array}{ll} dx = v_x dt \\ dy = v_y dt \\ dz = v_z dt \end{array}\right.\]

sostituendo in (rela. cle)

\[\frac{dl}{dt} = \frac{\partial l}{\partial x} (v_x dt) + \frac{\partial l}{\partial y} (v_y dt) + \frac{\partial l}{\partial z} (v_z dt) + \frac{\partial l}{\partial t} dt \]

\[\frac{1}{dt}\]

quindi d/dt = ∂/∂t + v_x ∂/∂x + v_y ∂/∂y + v_z ∂/∂z

dove v_x ∂/∂x + v_y ∂/∂y + v_z ∂/∂z Derivata convettiva = v ∙ ∇

O.S.S.

Si ricordino le seguenti definizioni

1. Divergenza

div = ∂_x/∂x + ∂_y/∂y + ∂_z/∂z = ∇ ∙ div I = ∇ ∙ I =

11. Rotore

rot = ∇ ∧

111. Laplaciano

∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

1. Gradiente

∇ = grad Dunque si ha che: d/dt = v ∙ ∇ + ∂/∂t

Sia = (x, y, z, t) una quantità vettoriale si ha che: d = ∂/∂t dt + ∂/∂x dx + ∂/∂y dy + ∂/∂z dz

dx = v_x dt

dy = v_y dt