Idraulica - Appunto 14

Ricordiamo quanto trovato nell'ultima lezione:

Moto uniforme

φ = v_0,x = v₀ R cosθγ = v_0,y = v₀ R sinθ

Vortice Ciclico

φ = Γ / 2π = Γ / 2π arctg z / x

γ = -Γ / 2π ln r = -Γ / 4π ln (x² + z²)

Sorgente + pozzo

φ = +q / 2π ln r - Γ / 4π ln (x² + z²)

γ = +q / 2π e - Γ / 2π arctg z / x

Dipolo

Sappiamo cheφ_s = q / 4π ln [(x+a)² + z² / (x-a)² + z²]

e argomento del logaritmo è r² = (x+a)² + z²

Si studia il caso della contemporanea presenza di un pozzo ed una sorgente (posti immersionicamente) ad una distanza a, balle rigine degli assi cartesiani O.

Ricordiamo quanto trovato nell'ultima lezione:

Moto uniforme

ϕ = v_0xx = v_0xR cosθ

ψ = v_0yy = v_0yR sinθ

Vortici di Giers

ϕ = ^v/_2π e = ^v/_2π arctg ^z/_x

ψ = -^v/_2π ln r = -^v/_4π ln (x² + z²)

Sorgente y₀ costante

ϕ = +^q/_2π ln r = -^q/_4π ln (x² + z²)

ψ = +^q/_2π e = +^q/_2π arctg ^z/_x

Dipolo

Sappiamo che

ϕ_s = ^q/_4π ln [(x+a)² + z²]

e argomento del logaritmo è r² = (x+a)² + z² che è la circon

ferenza di centro (±a, 0) e raggio r.

ϕ_p = ^q/_4π ln [(x-a)² + z² ]

mente in questo caso l’argomento del logaritmo è

x² - (x-a)² + z², ossia la circonferenza di centro (±a, 0) e

raggio r.

Inoltre vale ∇²ϕ = 0.

La contemporanea presenza di un pozzo ed una sorgente ci

dà:

ϕ_s + ϕ_p = -^q/_4π ln ^(x+a)2+z2/_(x-a)²+z²

Un ragionamento analogo si può fare per le funzione di

corrente, quando che

ψ_s = ⁹/_2π arctg ^z/_x+a

ψ_p = -⁹/_2π arctg ^z/_x-a

dove

arctg ^z/_x+a = ϑ_s e arctg ^z/_x-a = ϑ_p

2 trova che:

ψ = ψ_s + ψ_p =

= ⁹/_2π [ arctg ^z/_x+a ( ϑ_s ) - arctg ^z/_x-a ( ϑ_p )

N.B.

Per le formule trigonometriche aggiungiamo che:

tg (ϑ_s - ϑ_p) =

= \frac{tg\varphi_s - tg\varphi_p}{1 + tg\varphi_s tg\varphi_p}, \; quindi \, l'angolo

\varphi_s - \varphi_p = arc tg \left[ \frac{tg (\varphi_s - \varphi_p)}{1} \right]

= arc tg \left[ \frac{tg \varphi_s - tg \varphi_p}{1 + tg \varphi_s tg \varphi_p} \right]

ma \; sappiamo \; anche \; che

\frac{tg \varphi_s}{x+a}

tg \varphi_p = \frac{z}{x-a}

per \; cui \; la \; quantit\grave{a} \; 1 + tg \varphi_s tg \varphi_p = 1 + \frac{z^2}{x^2-a^2}

de \; cui \; sostituendo \; l'espressioni \; trovate \; si \; vede \; che:

\varphi_s = \varphi_s + \varphi_p = \frac{9}{2\pi} arc tg

\left[ \frac{2(x-a) - 2(x+a)}{x^2-a^2} \right] \left[ \frac{x^2-a^2}{2(x^2+z^2)} \right]

l.a^{*} = a^{\circ}

x^2-a^2+z^2

x^2-a^2+z^2

\frac{-9}{2l.l} arc tg \left( \frac{2x.z}{x^2+2z^2-a^2} \right)

Oss 1

Le \; linee \; per \; cui \; il \; potenziale \; di \; velocità \; è \; costante, \; \phi = cst \; sono \; delle \; circonferenze \; col \; centro \; sull'asse \; x \; in

simmetriche \; rispetto \; all'asse \; z \; e \; che \; comprendono \; sem-re \; punti. \; Se \; P \; rispettivamente:

Non sono necessariamente concentriche.

Oss. 2

Le linee per cui la funzione di corrente è costante, ψ=cost., sono delle circonferenze che passano sempre sia per il punto S (che per le punto P col centro sull'asse z simmetriche rispetto all'asse x)

Le linee a ϕ=cost e ψ=cost s'incontrano sempre perpendicolarmente.

Doppietta

Supponiamo che a → 0 → q → ∞ → 2aq → m_i

Le funzione di corrente per i dipolo è

ψ = -^{q    2a z}/_{2π   x²+z²-a²}

x ≡ a → ∅ → ∅ → ∅ ≡ ∅

Le funzione di corrente della doppietta diviene:

ψ = -^{q    2a z}/_{2π   x²+z²-a²}

→

→ ^limψ = a → 0

q → ∞ → 2aq → m

= —

—^m/_{2π   x²+z²} —

—^m/_{2π   r²} —

— ^m/_{2π   r} —

— q²z

Linee a potenziale di velocità costante, ø = cost

Circonferenze avente il centro sull’asse x simmetrica rispetto all'asse z e passanti per l'origine

Linee a funzione di corrente costante, ψ=cost

ψ₁

ψ₂

ψ₃

ψ₄

ψ₁

ψ₂

ψ₃

ψ₄

H.B.

le linee a ϕ=cost e

ψ=cost s'intersecano ortogonalmente

Circonferenze col centro sull'asse z simmetriche rispetto all'asse x passanti tutte per l'origine O

CASO:

Doppietta in moto uniforme

Doppietta: ψ₀ = ^m/_2π^2mα/_r

Moto uniforme: ψ_u = v₀r₀senα

La contemporanea presenza di una doppietta in moto uniforme è data da:

ψ = ψ₀ + ψ_u = 2mα v₀r₀ + ^m/_2πr

Allora z ha che esiste un n = n₀ = √^m/_2πv0 per cui ψ = 0.

Per cui: è che questo campo di moti...

…erme costituito da una circonferenza con centro in (0,0) eraggio ℛ₀, tale linea di corrente separa due diversi campidi moto uno interno ed uno esterno.Cominciamo studiando il campo di moto esterno

— Andamento delle linee di corrente a ± ∞H.B.Il campo di moto esterno alle linee di corrente costituitodalla circonferenza di raggio ℛ è lo stesso di quello di unfluido perfetto (quindi ciò si muove di moto irrotazionale, w=0), che si muove ed incontra un ostacolo cilindrico diraggio ℛ₀.Per il fluido è Ψ se le ⎧⎪ v_r = ¹/_r ∂ψ/^∂θ⎨⎪ v_θ = -∂ψ/^∂r⎩

essendo che ψ = v₀r sinθ [1 - ^ℛ₀2/_r²] si ottiene

v_AC = ¹/_r v_O cosθ [^r/_{[1-(r0²/r²)]}] = v_O cosθ (1-^r₀2/_r²)

v_OA = -v_O sinθ [^1+r₀2/_r²]

Per quanto riguarda il cerchio, invece, si ha che:

v_OC = 2v_O sinθ

A e B sono i punti di ristagno e sono dell'angolo di ristagno prodiera e punto di ristagno poppiero rispettivamente.

Velocità massima

Velocità minima

• − Circonferenza in cui la velocità è nulla
• − Circonferenza che descrivono l'andamento della velocità

Vediamo il campo di moto all'interno della circonferenza

di centro (0,0) e raggio r₀.

tale campo è costituito

da una circonferenza iniziale è poi da altre curve che

contengono la circonferenza

di partenza però seguono

mano mano che si avvicinano alla circonferenza di raggio r₀. Tali

curve e la circonferenza

di partenza sono simmetriche rispetto all'asse x.

Torniamo a considerare il caso precedente cioè il campo

di moto esterno alla circonferenza di centro (0,0) e raggio r₀.

Ossia torniamo a considerare il cilindro immerso nel

fluido perfetto in movimento, per il teorema di Bernoulli

è dato che:

p_∞ + v_∞² / 2g - r_c / r + v_c² / 2g

applicato fra un punto infinitamente lontano dal cilindro

dove la cui velocità coinciderà dunque con quella del fluido

(v_∞) ed un punto che si trova sul cilindro stesso.

N.B.

Si noti che p_∞ = 0 poichè si suppone che tale punto abbia

la pressione atmosferica.

Dunque si trova che:

p_c = - p_∞ + ρ

(-v_∞² / 2 ( 1 + v_∞² / v_c² ) ) =>

=>p_c=₂^v₀2_{v0² 2}^1-a2sen2 => sen²=₄³

=30=₆

d s vede sul diso che p_c=0 se 1-sen²₄³

ŌP₁ = ŌP₂ = ₂ ^v₀2

(punti in cui e=0)

• Andamento delle pre
• A,B,C,D sono i punti in cui la pressione è nulla

Per calcolare la risultante delle pressioni sul cilindro si conviene scompola in due componenti: R e P

• R: Resistenza
• P: Portanza

Per calcolare sia la resistenza R_x che la portanza P_y consideriamo un elemento di superficie qualunque, la cui area è data da:

dS = 1.r.ω.dθ

quindi la forza esercitata su questo elemento di superficie, ci viene data da:

dF = ρ_∞ c dS

dR = -dF cosα = -ρ_∞ c dω cosα

dP = -dF senα = -ρ_∞ c dω senα

R_x = -π ρ_∞ v_∞² \[ \frac{c}{2} \] \[ \int_{0}^{2\pi} \] (1 - 4 πα² sen²θ) cosθ dθ

P_y = -π ρ_∞ v_∞² \[ \frac{c}{2} \] \[ \int_{0}^{2\pi} \] (1 + 4 πα² sen²θ) senθ dθ

Svolgendo i precedenti integrali si trova che:

R_x = 0

P_y = 0

risultado noto col nome di paradosso di D'Alembert.

Tale risultato risulta corretto per quanto riguarda la portanza, mentre non è corretto per la resistenza.

pressione minore di quella atmosferica

pressione maggiore di quella atmosferica

Il paradosso di d'Alembert non è corretto per quanto riguarda la resistenza perché c'è la formazione di una scia

Aderenza

Scia

Le velocità vicine alla circonferenza tendono a zero

Cas0 2

Doppietta: moto uniforme, vortice libero

ψ₀ = _m/^{2π r_c}/_r0

ψ_U = v₀r₀sinα

ψ_l = ^Γ/_2π ln r

ψ = ψ₀ + ψ_U + ψ_l = v₀r₀sinα + ^r/_2π ^r_c2/_r0 ln r

Se l'∞ i punti di risci- gio A e B si trovano sulla circonferenza di raggiu-gno sull'asse xsi ha la stessa situazionedel caso precedente:x ha una linea di corr en -te circolare con raggiou ½

r₀ per cui ψ = 0

v_0x = ¹/_r ∂ψ/∂θ - v₀cosα^{(1 - r₀2)}/_r0² → v_0rc = 0

v_0n =- ∂ψ/∂n = v₀sinα^{(1 + r₀2)}/_r0² − ^Γ/_2πr0 →

→ v_0rc = - 2v₀sinα^Γ/_2πr0

v_0rc = 0 → 2v₀sinα^Γ/_2πr0 →

→ α = arcsin^(Γ)/_(4πr0v0)

M.B.

S₁=0: i punti di ristagno sono sull'asse x

S₂ diversa 0: i punti di ristagno si spostano lungo le circonferenze di raggio r₀

Troviamo la pressione sul cilindro applicando il T.H. di Bernoulli:

P_C=P₀₀+p [frac(v₀₀²){2}-frac(v₀²)(2)]

sapendo che v_0c=-2v₀ sin

P_C=P₀p[frac(v₀²){2}]

posto uguale a C la quantità che parametrizza e risolve il dominio in line di

R=-P₀₀p [frac(v₀²){2}] int₀^2pi[C]cos line d

P_i=P₀₀p [frac(v₀²){2}] int₀^2pi frac sin d

quindi

int₀^2pi(sine cos)de=0

int_c^2pi(sin²)de=pi

sigma int_c^cP_i=P₀-P₀₀p

Il precedente è chiamato teorema di Kutta-Zhukovsky: la

portanza di un corpo avvolto da una corrente caratterizzata

da doppio, moto uniforme e vortice libero è:

P = pГ∞

Moto uniforme

ϕ = v₀ x = v₀ t cos

= v₀ z = v₀ t sin

Moto con vortice e Cero

ϕ = -^Г/_2π arctg z/x

= -^Г/_2π ln r - ^Г/_4π ln (x²+z²)

Pozzo e sorgente

ϕ = ^±q/_2π ln r = ^±q/_4π ln (x²+z²)

= ^±q/_2π = ^±q/_2π arctg z/x

Doppio

ϕ = ϕ_s + ϕ_p = ^q/_4π ln [(x+a)²+z²]/[(x-a)²+z²]

= ^q/_2π arctg (-2a z)/(x²+z²-a²)

Doppietta

= ^m/_2π sin/r