Idraulica - Appunto 13

Vediamo come integrare le equazioni di Z in vari casi

Per facilitarci, determiniamo prima il campo di moto v e p. Riduca ad un problema invariante. Ricordiamo le equazioni di Euler:

(v, ∂p∂t + ρ DΦDt) → Equazione del moto

∇ ∙ v = 0 → Equazione di continuità

Inoltre sappiamo che il teorema di Bernoulli:

p + 12 v² = cost lungo la traiettoria di una particella se il moto è permanente e che se il moto è irrotazionale ossia ω̂ = 0, otteniamo:

∇ A^Z + il teorema di Bernoulli è comunque costante nell'intero campo del moto.

Passiamo alle base di tutto l'ipotesi che il moto sia irrotazionale (ω = 0 condizione necessaria) e che il fluido sia perfetto. In altri ipotesi esiste una funzione scalare, il potenziale di velocità, tale che Φ = (, , , ), quindi:

v = ∇Φ & there4; ^∂Φi _∂ + ^∂Φ∂ + ^∂Φ∂

Verifichiamo che se esiste il potenziale della velocità Φ(, , , ), allora il moto è irrotazionale, ossia:

Rot v = ω = 0,

Sapendo che rot v = ω = λ ∧ v =_ij ∂v∂x ij k

Equazioni di F.

Vediamo come integrare le equazioni di F. in vari casi. Per ridurre ad un problema lineare. Ricordiamo le equazioni di F.

\[\nabla p - \rho \frac{\partial \nabla v}{\partial t}\] → Equazione del moto

\[\nabla v = 0\] → Equazione di continuità

Indichiamo che il teorema di Bernoulli.

\[\frac{2}{\rho} + \frac{v^2}{2g}\] = cost lung la traiettoria di une particella se il moto è permanente e che se il moto è irrotazionale ossia \(\omega = 0\) onsato;

\[\nabla A^2\] l\right; l teorema di Bernoulli è comunque costante nell'intero campo del moto.

Prendiamo alle basi di tutto l'F.: che il modo sia irrot; ondizionale \(\omega = 0\) condizione necessaria) e che il fluido da F. 2 refl. In tal: fr interm; o una funzione potenziale di velocità, tale che \[\Phi:\left(x,y,z,t\right)\]) quindi

\[v = \nabla \Phi\]; \[\frac{\partial \Phi}{\partial x}\] +\right; \[\frac{\partial \Phi}{\partial y}\] + \[\frac{\partial \Phi}{\partial z}\]

Mark ifor primesse liccio potenzale delle velocitatià \(\Phi\left(x,y,z,t\right)\) il\right; modo è irrotazionali ossia.

Rot \(v = \omega = \nabla \Lambda v =\)

Sperndo che rot \(v = \omega = \nabla \Lambda v\) \[\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_y & v_y & v_z\end{array}\right| \rightarrow\]

ω = [_∂vz/_∂y - ∂v_y/_∂z] i - [_∂vz/_∂x - ∂v_x/_∂z] j + [_∂vy/_∂x - ∂v_x/_∂y] k

Vede che v_z = ∂φ/_∂z, v_y = ∂φ/_∂y, v_x = ∂φ/_∂x

{ ∂v_z/_∂y = ∂²φ/_∂y∂z ∂v_z/_∂x = ∂²φ/_∂x∂z ∂v_y/_∂x = ∂²φ/_∂x∂y ∂v_y/_∂z = ∂²φ/_∂z∂y ∂v_x/_∂z = ∂²φ/_∂z∂x ∂v_x/_∂y = ∂²φ/_∂y∂x quindi

∂v_z/_∂y = ∂v_y/_∂z ∂v_z/_∂x = ∂v_x/_∂z ∂v_y/_∂x = ∂v_x/_∂y

Quindi tutte le componenti di rotore sono nulle R=_ω=0. Il moto è irrotazionale che viene fatta l'equazione di Poisson.

∇²φ=0

∇⋅∇φ = 0

∇²φ = 0

( ∂v_x/_∂x + ∂v_y/_∂y + ∂v_z/_∂z = 0)

∂²φ/_∂x² + ∂²φ/_∂y² + ∂²φ/_∂z² = 0 ∇²φ = 0

La precedente è un’equazione lineare e ha due vantaggi:

• Maggiore semplicità per risolvere il problema
• Si determina il campo di moto in maniera indipendente

Inoltre perché il teorema di Bernoulli è costante.

Considerazioni preliminari

Faremo alcune considerazioni preliminari. Consideriamo un campo di moto qualunque (mon. f. alùna 'golre') e sia è una curva clinuasia di un tratto infinitesimo della curva e

Circolazione: definiamo la circolazione come ∮ e

Teorema di Stokes

Sia S una superficie golba arlinaria che ha come contorno è definita su un dominio sempliciomente commisso allorì è tale che:

Γ = ∫sωɅds

Con ω = rotν

H.B. Diciamo che un domino è sempliciamente commosso se rupauna curva continua al suo interno può essere deformala fino ad essere ridota ad un punto senza mai uscire dal dominio sisso cosìa del campo di moto e noti che il teorema di Stokes vale solo se il dominio è sempliciamente commosso.

Teorema di Thomson e di Kelvin

Le consideriamo un gelido perfetto in moto allora la circozione F lungo una linea chiura che non proprio e modifica nel tempo, ma sempre costituito dalle stesse particelle, è costante.

Lemma di Lagrange

Lemma di Lagrange (deriva dal Teorema di Thomson). Dato un fluido perfetto, che in un certo istante si trova in una condizione in cui ω = 0, cioè il moto è irrotazionale, allora continua a muoversi di moto irrotazionale.

Infatti, se ω = 0 per un certo istante ⇒ Γ = 0 ⇒= ∮ s ω . n dS = 0 ⇒ ω = 0 ⇒ il moto continua ad essere irrotazionale

In sintesi, potremmo dire che: Se Γ è nullo in un certo istante e quindi in un certo istante se ω = 0 (il moto è irrotazionale) allora la circolazione Γ è nulla costantemente ed il moto continua ad essere irrotazionale.

Supponiamo che un fluido perfetto si trovi sempre in condizioni di moto irrotazionale (ipotesi non restrittiva) allora, se la rotore si trova φ e si vede che soddisfa l'equazione di Eulero.

Riassumendo

Diciamo che esiste la funzione scalare φ (x, y, z, t) detta potenziale di velocità se _e è moto è irrotazionale ω = 0, conseguentemente il fluido deve essere perfetto.

Vale anche il viceversa: Se abbiamo un fluido perfetto allora, _e il moto è irrotazionale, allora esiste la funzione scalare potenziale di velocità φ (x, y, z, t)

In conclusione si può dire che: Un fluido è perfetto se e solo se il moto è irrotazionale ω = 0.

Oss C'è solo un caso di fluido viscoso che si muove di moto irrotazionale ed è l'unica eccezione: fluido che ruota intorno ad un cilindro.

Alle funzione potenziale di velocità si associa un'oltre funzione scalare la funzione di corrente definito sotto le ipotesi che il moto sia bidimensionale (funzioni solo di due variabili parziali - ad esempio x e z o di altre due) e che il fluido sia incomprimibile ossia

grad _v = ∇ ⋅ _v = 0 ⇒ _∂²ψ/∂x∂z - ∂²ψ/∂x∂z = 0 ⟹ ∂²ψ/∂x² - ∂²ψ/∂z² = 0 ed è supposto che il moto sia funzione della varieabili x e z

Dunque si ha che la funzione di corrente è dato de:

ψ = ψ(x, z, t)

De cui si ha la definizione di velocità:

v_x = ∂ψ/∂z {v_z = - ∂ψ/∂x ⎨⇒⎧∂²ψ/∂x² = ∂²ψ/∂x∂z ⟺ ∇²(ψ) = 0

Quindi se esiste la funzione di corrente, allora il modo è irrotazionale, conseguentemente è soddisfatta l'equazione dunque.

In conclusione ω=0, quindi il moto è irrotazionale.

Infine si trova che: W ha sempre lo stesso valore lungo una linea di corrente, quindi per una linea di corrente vale:

⇒ v_y dx - v_x dz = 0 e quindi

Oss.

v_z dx - v_x dz = 0

d_z v_x

d_x v_z

→ Linea di corrente

d_ψ dx - v_z{d_ψ = - v_z dx + v_x dz d_ψ dz v_x

Richiami

Detto un fluido perfetto valgono certi teoremi sopra elencati (Tri di Stokes TH di Thomson Lemma di Lagrange ecc.) per cuiie moto ė irrotazionale ω = 0. Se il moto è irrotazionale allora esiste la funzione scalare φ dalla la quale si supposto che ė fliuto sia incomprimibile vale ∇² φ = 0, ossia vale l'c^eequaziono di Lagrange.

Se invece abbiamo un moto gélaiere bidimensionale allora esiste la funzione scalare ψ: ne inoltre vale il 'potere che ć il moto sia irrotazionale allora ∇² ψ = 0.

Applicazioni

Ipotesi:

• Moto permanente
• Moto piano → Bidimensionale
• Fluido incomprimibile (oltre altrimenti non existerebbe ψ)
• Fluido perfetto quindi moto irrotazionale conseguentemente ʔcalari ψ η ancora picer ė moto ė irrotazionabile vale ∇²ϕ=0, poiché il fluido è incomprimibile ∇²ψ=0.

Supponiamo che il moto avvenga nel piano xz ∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂z² = 0. Equazione differenziale ellittica

Oltre al sistema cartesiano ortogonale, facciamo riferimento anche ad un altro sistema in coordinate polari: x=R cos θ { z=R sin θ

Legato al sistema di riferimento cartesiano ortogonale, de{R=√(x² + z²) θ=arc tg z/x}

Caso 1: moto uniforme

Moto uniforme (diagram omitted){vₓ=v₀ v_z=0}

Troviamo ϕ. {vₓ=∂ϕ/∂x v_z=∂ϕ/∂z}{v_R=∂ϕ/∂R v_θ=(1/R)∂ϕ/∂θ}

Sist. cart. ort. ɽ sistema polare

Troviamo ψ

v_x = ∂ψ / ∂z

v_z = ∂ψ / ∂x

Sist. coord. ort.

v_z = 1/r ∂ψ/ ∂z

v_z = - ∂ψ / ∂r

Sist. polare

Poiché nel moto uniforme vale

v_x = v_∞

v_z = 0

⇒ v_∞ = ∂φ / ∂x

0 = - ∂φ / ∂z

⇒ da cui segue, integrando

φ = v_∞ x + φ(z)

φ = v_∞x

Quindi il potenziale delle velocità, φ, per un moto unif. è dato da:

φ = v_∞x = v_∞ r cosθ

Troviamo l'espressione della funzione di corrente ψ:

v_z = v_∞ - ∂ψ / ∂z

v_z = 0 = - ∂ψ / ∂x, integrando

ψ = v_∞ z + g(x)

ψ = 0 + g(z)

In conclusione

ψ = v₀ r · sen θ

Linee a potenziale di velocità costante: φ = cost zx

Linee a funzione di corrente costante: ψ = cost zx

H.B. Le linee a φ = cost e ψ = cost si intersecano sempre ad angolo retto; infatti se φ = cost => dφ = 0 (1)=> z • dθ - v₀ r cosθ => (2)=> v₀ r sin θ = 0 → θ = 0, π,...

ψ = v₀ r cosθ = 0 => θ = π/2, 3π/2 (3)

Analogo per dψ/dz = 0

Oss. All'inizio dovevamo verificare che il motile è non stazionario, ω = 0. Si vede, infatti, che:

ω_z = ∂v_x/∂x - ∂v_y/∂z = 0, infatti

∂v_z/_∂x=0 ⇒ ∂v_z/_∂x=0

v_x=v₀ ⇒ ∂v_x/_∂x=0

Si conclude che w_y=0.

Si ricorda inoltre che le altre due componenti del rotore, w_x ed w_z sono nulla, in quanto

w_x= ∂v_z/_∂y - ∂v_y/_∂z =0 poichè v non ha componenti lungo l'asse z (⇒ v_z=0) e v_y non dipende da z (⇒ ∂v_y/_∂z=0).

w_z= ∂v_y/_∂x - ∂v_x/_∂y =0 poichè non ci sono componenti lungo l'asse y e v_x non dipende da y

Capitolo 8: moto con vortice libero

Consideriamo un campo di moto con vortice libero: i gira in verso antiorario:

( v_t=0 v_θ=κ/_r|v_θ è funzione del raggio r e decresce via via allonta- -nandosi dall’origine O.

Innanzitutto dimostriamo che il moto è irrotazionale: consideriamo il punto P(r,): si ha che

v_x()=κr/_r²cos v_z() = κr/_r²

e(x, y) = kxx² + y²

(x, y) = kyx² + y²

=2zx(x² + y²)²

=2zx³(x² + y²)² - = ( 2xxy² 2xx³ )(x² + y²)² (x² + y²)²

=0 =>₂ =0

H.B. zitato che poiche (l) esistema di riferimanz aremmo abumaree diferente= e reducerlo in ammulla => .O.⁽¹⁾ e un punto zingolare e quino il dominio non _{e semplice conesso quindi non e quì applicare il tip di tiposre} cordelle delle delle delficiente. a e conserbiamo una

La definizione di circolazione:

Γ = ∫_C v · dl ⇒ poiché v_θ = v e dl = R dθ

Γ = ∫₀^2π v_verde = ∫_C v R dθ = R ∫₀^2π v dθ = κ ∫_C dθ = 2π κ ⇒ κ = Γ / 2π ⇒ ⇒ v_θ = Γ / 2π R

M.B. Poiché v_θ e dl hanno la stessa direzione, allora l'angolo compreso fra questi due vettori è nullo ⇒ v · dl = v dl= v θ R dθ cos(α) = v θ R dθ = v_θ dl.

Cerchiamo il potenziale di velocità φ

{v_R = 0 v_θ = Γ / 2π R {v_R = ∂φ / ∂R v_θ = 1 / R ∂φ / ∂θ

Me v_θ = Γ / 2π R ⇒ Integrando: le cui:

(φ= φ₀ + g(θ)= Γ / 2π θ + g(θ)

Di cui φ = Γ / 2πφ

⇒ φ = Γ / 2π θ - Γ / 2π arctg ^z⁄_x

Cerchiamo la funzione di corrente:

v_θ = ^Γ/_2πr - ∂ψ/∂r

v_r = -¹/_r ∂ψ/∂θ

ψ = ^Γ/_2π ln r

ψ = 0 + f(θ)

ψ = ^Γ/_2π ln r - ^Γ/_4π ln (x₁² + x₂²)

Linee a potenziale di velocità costante, φ = cost: sono costituite da un raggio qualunque di C.

Linee a funzione di corrente costante ψ = cost: sono costituite da circonferenze concentriche a C

Polso o sorgente

Polso o sorgente

v_r = ^±9/_2πr

v_θ = 0

Il punto O è l'origine, come nel caso 2 è un punto angolare poichè x = π => σ => σr => ∞, quindi il dominio non è semplicemente connesso, quindi non si può applicare il teorema di Stokes, dunque per il calco…Co della circolazione si usa la sua definizione:

Γ_Γ = ∫₀^2π v_r dσ = σ

Si noti che

v_R = ^-9/_2πr nel caso di un … e si vede che la velocità è radiale diretta verso il centro è l'origine O.

v_R = ⁺⁹/_2πr nel caso di una sorgente, e si vede che la velocità è radiale centrifuga (si allontana) dal centro o dall'origine O.

Cerchiamo il potenziale di velocità

v_θ = ⁺⁹/_2πr = -∂φ/∂r

v_r = 0 = ¹/_r ∂φ/∂θ

→ φ = ⁺⁹/_2π ln r + φ(θ)

→ φ = 0 = g(π)

⇒ φ = ⁺⁹/_2π ln r + ⁹/_4π θ

Cerchiamo la funzione di corrente, ψ

v_r = ⁺⁹/_2πr = ^-1/_r ∂ψ/∂θ

v_θ = 0 = ∂ψ/∂r

⇒ ψ = 0 + g(r)

⇒ ψ = ⁺⁹/_2π θ = + ⁹/_2π arctg(z/x)

Linee a potenziale di velocità costante: φ = cost circonferenze concentriche al C