Formulario Matematica 1

Successioni

Sequenza ordinata di infiniti numeri detti termini della successione.

In cui sia possibile identificare unicamente chi è il primo, il secondo.

Una funzione ℕ → ℝ può essere calcolata solo per valori naturali di una variabile indipendente (n) → An termine generale.

Grafico della successione → insieme discreto di punti.

f (ℝ) = retta, può assumere qualsiasi valore.

1. f (An) si dice limitata superiormente (inferiormente) se ∃ M: An ≤ M ∀ n ∃ m: An ≥ m ∀ n. È limitata se è limitata superiormente e inferiormente.
2. Monotonia crescente ⇔ An ≤ An+1 ∀ n ∈ ℕ. Decrescente ⇔ An ≥ An+1. Monotona strettamente crescente ⇔ An {An} possiede una certa proprietà definitivamente se ∃ N ∈ ℕ: An soddisfa quella proprietà ∀ n > N ∈ ℕ.

I termini della successione godono di quella proprietà da un certo termine in poi.

Limiti di successione

Calcolare il limite di una successione lim An = equivalente a chiedersi che tipo di comportamento ha la successione quando n tende a diventare molto grande.

1. lim An = +∞. La successione diverge a +∞.

Se fissato un qualunque M ∈ ℝ: An > M definitivamente ⇛ ∀ M ∈ ℝ ∃ N0 ∀ n > N0 An > M.

2. lim An = -∞ la successione diverge a -∞.

Se fissato un qualunque numero M ∈ ℝ: An N0 An.

3. Se esiste un numero reale L che gode di questa proprietà: fissato un qualunque numero reale >0 |An-L| < ε definitivamente.

Da un certo termine in avanti i termini della successione distano da L meno di ε.

La successione converge lim An = L.

4. Se non si verifica nessuno dei casi precedenti lim An non esiste → indeterminata.

Successioni

Sequenza ordinata di infiniti numeri detti termini della successione.

In cui sia possibile identificare univocamente chi è il primo, il secondo e chi ogni genericamente nth.

Una funzione a_n.

Il grafico della successione è sempre un insieme discreto di punti.

f(x) = retta, può assumere qualunque valore come uno dei punti.

1. a_n si dice limitato superiormente (inferiormente) se.

a_n è limitata se è limitata superiormente e inferiormente.

2. Monotonia crescente.

Monotonia strettamente crescente.

a_n possiede una certa proprietà definitivamente se.

3. Quella proprietà ∀n ≥ N (i termini della successione godono di quella proprietà da un certo termine in poi).

Limiti di successione

Calcolare il limite di una successione.

a_n equivalente a chiedersi che tipo di comportamento ha la successione quando n tende a diventare molto grande.

1. Se lim a_n = +∞ la successione diverge a +∞.

Se fissato un qualunque numero M;

Se lim a_n = -∞ la successione diverge a -∞.

Se fissato un qualsiasi numero M;

3. Se esiste un numero reale L epsilon definitivamente da un certo termine in avanti.

Si dice che la successione converge lim a_n = L.

4. Se non si verifica nessuno dei casi precedenti lim a_n non esiste.

Serie

Data una successione di numeri reali {a_n} si chiama serie dei termini a_n.

La somma degli infiniti termini della successione = ∑_n=0^∞ a_n.

Per formalizzare l'idea della somma degli infiniti termini della successione S_n = a₀ + a₁ + ... + a_n.

Successione delle somme parziali di una serie.

Se esiste il limite lim S_n = ∑_n=0^∞ a_n = L.

1. lim S_n = L ∈ ℝ Serie converge ad L. lim S_n = ∞ L ± ∞ Serie diverge a L. lim S_n non esiste Serie indeterminata.

Serie geometriche

∑_n=0^∞ qⁿ con q ∈ ℝ q - ragione della progressione geometrica.

S_n = q⁰ + q¹ + q² + ... + qⁿ = lim S_n = • Serie telescopiche (Mengoli).

Serie telescopiche (Mengoli)

∑_n=1^∞ (a_n - a_n+1).

Mengoli = lim S_n = 1.

a_n.

Ciascun termine della successione si semplifica con quello immediatamente successivo, tranne il termine.

Studio del carattere della serie _{(test del termine n-esimo)}

Condizione necessaria per la convergenza: an → 0.

Se vogliamo che la somma degli an sia finita devo aggiungere quanti zero (termini sempre più piccoli) se aggiungessi termini sempre più grandi, non raggiungibili → somma ∞.

Criteri che forniscono condizione sufficiente per la convergenza:

Serie a termini positivi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.

Serie a termini di segno arbitrario: criterio della convergenza assoluta, criterio di Leibniz.

Proprietà

1. Siano _∑an e _∑bn due serie convergenti e k ∊ ℝ allora.

∑(an+bn), ∑kan.

Siano an a termini definitivamente non negativi an≥0 converge o diverge a +∞ _{Non può essere indeterminata.}

Criterio del rapporto

an≥0 _lim an+1/an = l l1 ⇒ ∑an diverge l=1 ⇒ inconcludente.

Criterio della radice

an≥0 _lim ^n√an = l Stesse conclusioni.

Criterio del confronto

(Somme matriciale & sviluppi Taylor)

Siano ∑an e ∑bn con an,bn≥0 supponiamo che an≤bn.

1. ∑bn converge ⇒ ∑an converge.
2. ∑an diverge ⇒ ∑bn diverge.

Esempi di applicazione: p-serie _{(Serie armonica generalizzata)} ^1/np converge p > 1 diverge p ≤ 1.

Criterio del confronto asintotico

Siano ∑an e ∑bn con an,bn>0 se an∼bn.

∑an e ∑bn hanno lo stesso carattere. _{(Entrambe convergenti/divergenti)}

Serie a termini di segno arbitrario

Convergenza assoluta: se Σ|an| converge.

(se Σ|an| diverge a +∞, la serie originaria non converge)

Criterio di Leibniz

Sia {an} una successione e supponiamo che:

1. an > 0 definitivamente; an → 0 (n → ∞); an+1 ≤ an (monotona decrescente) ⇒ la serie originaria converge definitivamente.

Studio della monotonia

Posso interpretare {an} come la restrizione a IN+ (all'insieme dei numeri naturali positivi) della variabile reale f(x) = |an|.

Devo trovare che sia definitivamente (da un certo valore in poi) decrescente ⇒ derivata.

Integrali

Primitive elementari

cosx → sinx + c.

sinx → -cosx + c.

e^x → e^x + c.

a^x → a^x / ln a + c.

xⁿ → xⁿ⁺¹ / n+1 + c.

1/x → ln|x| + c.

1/(1+x²) → arctg x + c.

1 + tg²x = 1/cos²x → tgx + c.

1 + ctg²x = 1/sin²x → -ctgx + c.

cosh x → sinh x + c.

sinh x → cosh x + c.

1/√(1-x²) → arcsin x + c.

-1/√(1-x²) → arccos x + c.

Composte

f'(x) · cos f(x) → sin f(x) + c.

f'(x) · sin f(x) → -cos f(x) + c.

f'(x)e^f(x) → e^f(x) + c.

a^f(x) · f'(x) → a^f(x) / ln a + c.

f'(x) · f(x)ⁿ → f(x)ⁿ⁺¹ / n+1 + c.

f'(x)/f(x) → ln|f(x)| + c.

f'(x)/(1+f(x)²) → arctg f(x) + c.

f'(x)/√(1-f(x)²) → arcsin f(x) + c.

Proprietà

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx.

∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + c.

Integrazione per parti

∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx.

(Moltiplico 1, ciclici)

Integrazione per sostituzione

∫_a^b f(g(x)) g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(y) dy.

sostituzione y = g(x).

dy = g'(x) dx.

Derivata

∫^1+x2_☐4x² t √(1+x²) dt = 1 arctg√(1+t²) - log(e^x+1).

Integrale improprio

∫_a^∞ f(x) = lim_b→+∞∫_a^b f(x).

Sviluppi

Sviluppo di Taylor _{(resto nella forma di Peano)}

f(x) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x-x₀)ⁿ ⇒ sviluppo di Maclaurin x₀ = 0.

Sviluppo di un integrale

Limiti notevoli.

lim_x→0 ^{sin x}/_x = 1.

lim_x→0 ^{tg x}/_x = 1.

lim_x→0 ^{ln (1 + x)}/_x = 1.

lim_x→0 ^{log_a(1 + x)}/_x = 1/ln a.

lim_x→0 ^{1 - cos x}/_x = 0.

lim_x→0 ^{arc sin x}/_x = 1.

lim_x→0 (1 + ^x/_α)^x = 1.

lim_x→0 ^{1 - cos x}/_x² = 1/2.

lim_x→0 ^{ex - 1}/_x = 1.

lim_x→0 ^{ax - 1}/_x = ln a.

lim_x→+∞ (1 + ¹/_x)^x = e.

lim_x→0 (1 + ^x/_n)^1/_x = e.

lim_x→0 ^{arc tg x}/_x = 1.

no asintotici con serie: cancellazione, cambio variabile, gerarchia ∞ o de l'Hospital.

Scala degli infiniti

1. nⁿ n! aⁿ n^β ln(n).

∀ β, β ∈ ℝ⁺.

∀ a > 1.

Derivate

K → 0.

x → 1.

a^x → a^x ln a.

x^a → ax^a-1.

√x → ¹/_2√x.

sin x → cos x.

cos x → -sin x.

a^x → a^x ln a.

e^x → e^x.

log_ax → ¹/_x ¹/_{ln a}.

ln x → ¹/_x.

tg x → ¹/_cos²x = 1 + tg²x.

ctg x → -¹/_sin²x = -(1 + ctg²x).

arc cos x → -¹/_√1-x².

arc sin x → ¹/_√1-x².

arc tg x → ¹/_1+x².

Regole di derivazione

Kf(x) → K · f'(x).

f(x) ± g(x) → f'(x) ± g'(x).

f(x)g(x) → f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

^f(x)/_g(x) → ^{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/_g²(x).

f(g(h(x))) → f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x).

f(x)ⁿ → n f(x)^n-1·f'(x).

^f/_g → -^f'/_f².

f(x)^g(x) = e^{g(x) ln f(x)} → e^{g(x) ln f(x) [g(x)·ln f(x)]'} = f(x)^g(x) · [g(x)·ln f(x)]'.

Criteri per le serie

Criterio del rapporto

a_n > 0, lim a_n+1 / a_n ∈ [0, +∞) *l < 1 ⇒ converge l > 1 ⇒ diverge l = 1 ⇒ inconcludente.

Criterio della radice

a_n > 0, lim n√a_n = l *(esile rapporto).

Criterio del confronto

0 ≤ a_n ≤ b_n.

Σ b_n converge ⇒ Σ a_n converge Σ a_n diverge ⇒ Σ b_n diverge a +∞.

Σ^∞_n=1 1/n^p p > 1 converge *

Σ^∞_n=1 1/n^p * ∀ ε > 1, β ≥ lα = 1, β ≥1.

lim ln(x) = -∞.

x → 0⁺.

x → 0^- x → 0 non esiste, ln(x) > 0.

|A(x)| > K quadron.

nⁿ n! aⁿ n^β ln(x)^α.

Criterio del confronto asintotico

(a_n ≈ b_n)

Criterio di Leibniz

a_n ≥ 0 definitivamente.

a_n → 0 per n → +∞.

a_n+1 ≤ a_n definitivamente.

⇒ serie converge.

Radice

L < 1 conv.

L > 1 diverg.

P > 1 conv.

P ≤ 1 div.

cosh = (e^x + e^-x) / 2.

sinh = (e^x - e^-x) / 2.