I numeri reali. Coordinate sulla retta

Revisionato il 26/10/2026

di adminv15

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Spiegazione dei numeri reali e delle coordinate sulla retta: da razionali e irrazionali alla completezza di R, intervalli, valore assoluto, distanza tra punti e calcolo del punto medio. Ideale per ripassare la teoria.

…continua

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Algebra

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Numeri reali

Per introdurre i numeri reali “R” ci occupiamo delle misure delle grandezze geometriche dei segmenti.

Se prendessimo una retta di origine “O” e fissiamo un punto “U”, possiamo definire il segmento OU, un segmento unitario:

OU = 1

Assegnato un numero razionale positivo, siamo in grado di costruire un segmento che ha come misura quel numero razionale positivo? Questa domanda la si può verificare con una dimostrazione geometrica che qui ometto.

Ci limitiamo ad affermare che, assegnato ^p/_q e Q, ^p/_q positivo, è possibile costruire un segmento OP tale che OP = ^p/_q (avendo precedentemente assegnato un segmento unitario).

Al contrario, invece, immaginiamo una retta che preveda un punto O (origine) e un punto U; assegnato il segmento unitario, per un punto P qualunque sulla retta non è possibile che esista sempre un numero razionale positivo tale che OP = quel numero.

Qualora la misura OP non sia sempre esprimibile con un numero razionale – l’insieme Q è proprio limitato –

Per poter sempre dare una misura ad OP, ci dobbiamo riferire ai numeri reali.

Numeri reali: è l’insieme formato dai numeri razionali e irrazionali.

In questo insieme riusciremo a trovare per il segmento OP un numero che andrà espresso per eccesso o per difetto.

Proprietà dei numeri reali

Anche in R si possono definire le operazioni di somme e di prodotto, e le proprietà formali di somma e prodotto sono le stesse viste per l’insieme Q.

L’insieme R gode di una proprietà aggiuntiva: la completezza.

Completezza: comunque è espresso il segmento reale (di origine o segmento unitario), esiste uno e un solo numero reale positivo che chiameremo x, tale che la misura di OP = x.

Coordinate cartesiane sulla retta reale

Semiretta negativa semiretta positiva

Q O U P

OU = 1

Il punto O definisce due semirette: quella che contiene U (semiretta positiva) e quella che non contiene U (semiretta negativa).

Determinare le coordinate di un punto P

Consideriamo segmenti non orientati, per cui non è importante il verso; serve il segmento OP e pure PO.

Detto questo, vado a prendere le misure del segmento OP = x > 0 (ascissa di P) e vado a prendere le misure del segmento OQ = x > 0. Dato che il punto Q si trova nella semiretta negativa, assegneremo all’ascissa di Q il valore -x.

Quindi abbiamo che per ogni numero reale positivo è identificato un punto sulla semiretta positiva e per ogni numero reale negativo è identificato un punto sulla semiretta negativa.

Si può considerare anche il problema opposto: assegno x R, associo un punto sulla retta: semiretta positiva o negativa. Vediamo qui di seguito i due casi:

Se x = 0 gli associo l’origine.

x in R

Se x > 0 determino un segmento OP che ha misura x. Associo ad esso il punto P della semiretta positiva tale che OP = x.

Se x < 0 determino un segmento di misura -x che ha come estremo l’origine “O” e come altro estremo un punto Q segnato nella semiretta negativa, tale che OQ = -x.

Nell’insieme dei numeri reali si possono definire gli intervalli di estremi a e b, ovvero tutti i numeri reali la cui ascissa è compresa tra a e b.

Intervallo chiuso [a,b] = {x in R: a <= x <= b}

Aperto ]a,b[ = {x in R: a < x < b}

Int. aperto a sinistra ]a,b] = {x in R: a < x <= b}

Aperto a destra [a,b[ = {x in R: a <= x < b}

Allo stesso modo si individuano sottoinsiemi dell’asse reale rappresentati da delle semirette. L’estremo può essere compreso oppure no.

(-, a] = {x in R; x <= a}

(-, a) = {x in R; x < a}

[a, +) = {x in R; x >= a}

(a, +) = {x in R; x > a}

Un’altra proprietà della retta reale è la distanza fra due punti:

d(A, B) = b - a; AB = b - a

Ragionando con segmenti non orientati, dobbiamo sempre specificare se a < b o viceversa. Infatti, nel caso a > b, la distanza sarebbe data da (a - b).

Introduciamo allora il concetto di valore assoluto o modulo per semplificare le cose.