I logaritmi

Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi

Calcolo dei Logaritmi

Veriano.Veracini@inwind.it

Lo scopo di queste pagine è quello di descrivere alcuni metodi per il calcolo dei logaritmi. I più interessati, possono trovare notizie e curiosità di varia natura nell’appendice in fondo a queste pagine.

1. Definizioni, storia, proprietà

Definizione

Il calcolo dei logaritmi è, insieme con quello delle radici, un’operazione inversa dell’elevamento a potenza (x = a^b). Si definisce logaritmo di un numero reale positivo, in una base positiva e diversa da 1, l’esponente a cui bisogna elevare tale base per ottenere il numero dato. Questo numero esiste sempre, ed è unico.

In pratica con log_a b = x, dove a > 0, a ≠ 1 e a si chiama base del logaritmo. Una cosa importante da puntualizzare è che non esistono i logaritmi dei numeri negativi e del numero zero.

Un pizzico di storia

Già in Archimede è presente, in embrione, il concetto di logaritmo. Archimede si rese conto della relazione esistente tra una progressione geometrica, formata dalle successive potenze di un numero naturale e i relativi esponenti che sono in progressione aritmetica, un’opera di Archimede nel libro “Arenaria”.

– – – – –

Ovvero i valori 1, 5, 25, 125, 625 ecc. sono in progressione geometrica di ragione 5. Questi valori sono equivalenti a 5⁰, 5¹, 5², 5³, 5⁴ ecc. e i valori degli esponenti (0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5 ecc.) sono in progressione aritmetica di ragione 1.

Molti anni dopo altri matematici, tra cui Luca Pacioli, Nicolas Chuquet e Michael Stifel ripresero il medesimo concetto, ma fu solo grazie a Joost Burgi e a John Napier che il concetto di logaritmo si poté sviluppare appieno. Loro ebbero la grande idea di infittire i termini delle due progressioni in modo che, per ogni numero nella progressione geometrica, ci fosse un numero nella corrispondente progressione aritmetica.

Il primo matematico a pubblicare delle tabelle con calcolati i logaritmi dove la base scelta era il numero 10 fu Henry Briggs e fu il matematico Leonard Euler ad introdurre i logaritmi dove la base scelta era il numero irrazionale “e”.

Anche altri matematici, tra cui Edmund Gunter, ne studiarono le proprietà e ne suggerirono alcuni utilizzi pratici.

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono quattro, vediamole in dettaglio.

1) Il logaritmo di 1, in una qualunque base, è 0.

log_a 1 = 0

Cioè il log_a è l’esponente a cui bisogna elevare un qualunque numero per ottenere, come risultato, 1. Infatti, vale sempre la relazione a⁰ = 1.

2) Il logaritmo di un numero uguale alla base è 1.

log_a a = 1

Cioè il log_a è l’esponente a cui bisogna elevare un qualunque numero per ottenere, come risultato, il medesimo numero. Infatti, vale sempre la relazione a¹ = a.

3) Se la base è maggiore di 1 il logaritmo cresce al crescere del numero.

Cioè se abbiamo che il log_a n₁ < log_a n₂ se abbiamo 1 < n₁ < n₂, a > 1.

Visto la prima proprietà fondamentale dei logaritmi possiamo anche dedurre che:

• Per il log_a n è negativo, n < 1.
• Per il log_a n è zero, n = 1.
• Per il log_a n è positivo, n > 1.

4) Se la base è minore di 1 il logaritmo decresce al crescere del numero.

Cioè se abbiamo che il log_a n₁ > log_a n₂ se abbiamo 1 < n₁ < n₂, a < 1.

Visto la prima proprietà fondamentale dei logaritmi possiamo anche dedurre che:

• Per il log_a n è positivo, n < 1.
• Per il log_a n è zero, n = 1.
• Per il log_a n è negativo, n > 1.

Teoremi fondamentali dei logaritmi

I teoremi fondamentali dei logaritmi sono quattro, vediamoli in dettaglio.

1) Il logaritmo di un prodotto, rispetto a una base, è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori del prodotto, nella medesima base.

Cioè log_a (m · n) = log_a m + log_a n.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_a m (cioè log_a m = x) e con y il log_a n (cioè log_a n = y) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, che a^x = m e, in modo analogo, anche che a^y = n.

Allora a^x+y = a^x · a^y = m · n e questa espressione è equivalente all’espressione a^x+y = m · n.

Per la definizione di logaritmo abbiamo che log_a (m · n) = (x + y).

Poiché x = log_a m e che y = log_a n allora abbiamo che log_a (m · n) = log_a m + log_a n.

C.V.D.

Osservazione

Il logaritmo di un prodotto di molti fattori, rispetto a una base, è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori del prodotto, nella medesima base.

Cioè log_a (m · n · q) = log_a m + log_a n + log_a q.

Dimostrazione

La dimostrazione è talmente tanto semplice che, a mio parere, non necessita di alcun commento.

log_a (m · n · q) = log_a ((m · n) · q) = log_a (m · n) + log_a q = log_a m + log_a n + log_a q.

C.V.D.

2) Il logaritmo di un quoziente, rispetto a una base, è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore, nella medesima base.

Cioè log_a (m/n) = log_a m − log_a n.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_a m (cioè log_a m = x) e con y il log_a n (cioè log_a n = y) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, che a^x = m e, in modo analogo, abbiamo che a^y = n.

Allora a^x−y = a^x/a^y = m/n ed è equivalente all’espressione a^x−y = m/n.

Per la definizione di logaritmo abbiamo che log_a (m/n) = (x − y).

Poiché x = log_a m e che y = log_a n allora abbiamo che log_a (m/n) = log_a m − log_a n.

C.V.D.

3) Il logaritmo di un numero elevato a una certa potenza, rispetto a una base, è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo del medesimo numero, nella medesima base.

Cioè log_a mⁿ = n · log_a m.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_a m (cioè log_a m = x) abbiamo, per la stessa definizione di logaritmo, a^x = m.

Se entrambi i termini vengono elevati alla potenza n-esima otteniamo (a^x)ⁿ = mⁿ e cioè a^{x · n} = mⁿ.

Per la stessa definizione di logaritmo abbiamo che il log_a mⁿ = x · n. Poiché x = log_a m allora abbiamo che log_a mⁿ = n · log_a m.

C.V.D.

4) Il logaritmo di una radice, rispetto a una base, è uguale al prodotto dell’inverso dell’indice della radice per il logaritmo del radicando, nella medesima base.

Cioè log_a ⁿ√m = 1/n · log_a m.

Dimostrazione

Poiché ⁿ√m è equivalente a m^1/n allora, utilizzando il teorema precedente, otteniamo che log_a m^1/n = 1/n · log_a m da cui ricaviamo che log_a ⁿ√m = 1/n · log_a m.

C.V.D.

Espressioni calcolabili attraverso logaritmi

Esistono alcune espressioni che sono facilmente calcolabili grazie ai quattro teoremi fondamentali che abbiamo appena enunciato. Possiamo esprimere il logaritmo di un’espressione monomia (cioè un’espressione che contiene solamente operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice) come somma e/o sottrazione (eventualmente moltiplicati o divisi per dei numeri interi) dei logaritmi dei vari termini presenti.

Esempio

log_a ((b³ · c²)/(d⁴ · e⁵)) = log_a (b³ · c²) − log_a (d⁴ · e⁵) = 3 log_a b + 2 log_a c − (4 log_a d + 5 log_a e).

Perciò, riassumendo, abbiamo che:

log_a ((b³ · c²)/(d⁴ · e⁵)) = 3 log_a b + 2 log_a c − 4 log_a d − 5 log_a e.

Osservazione 1

L’applicazione del logaritmo, a un’espressione monomia, trasforma le varie operazioni nel seguente modo.

• A) La moltiplicazione si trasforma in somma.
• B) La divisione si trasforma in sottrazione.
• L’elevamento a potenza si trasforma in moltiplicazione.
• C) L’estrazione di radice si trasforma in divisione.

D)

Come possiamo vedere le operazioni si semplificano notevolmente rendendo semplici anche calcoli notevolmente complessi come abbiamo visto nell’esempio precedente.

Osservazione 2

Non esiste nessuna relazione in grado di esprimere il logaritmo di un’espressione polinomia (cioè che contiene anche somme, e/o sottrazioni) per mezzo dei logaritmi dei vari termini. Cioè non esiste nessuna relazione tra il log_a (b + c) o il log_a (b − c) e i logaritmi dei termini log_a b e log_a c.

Trasformazione di un logaritmo da una base a un’altra

Poiché la base dei logaritmi può essere scelta a piacere (comunque deve essere sempre maggiore di 0 (zero) e diversa da 1) può essere utile eseguire il cambiamento di base. Cioè se abbiamo il logaritmo di un numero in una certa base può essere necessario calcolare il logaritmo, del medesimo numero, in un’altra base.

Il logaritmo del numero n nella base b è uguale al logaritmo del medesimo numero nella base a moltiplicato per una costante.

Cioè log_b n = K · log_a n.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_b n (cioè log_b n = x) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, b^x = n.

Calcolando il logaritmo in base a dei due termini precedente, otteniamo che il log_a b^x = log_a n e, per il terzo teorema fondamentale dei logaritmi, possiamo ricavare che x · log_a b = log_a n. Poiché nella precedente espressione x = log_b n l’espressione si trasforma nella seguente espressione log_b n · log_a b = log_a n.

Il numero che trasforma il log_b n nel log_a n non dipende da n, ma dipende solamente dal valore delle basi, a e b, coinvolte nella trasformazione. Ora possiamo dire che, fissate le basi dei logaritmi coinvolti nella trasformazione, il log_a b è una costante (cioè K = log_a b) perciò ora l’espressione precedente si trasforma nella log_b n · K = log_a n.

C.V.D.

Osservazione 1

Se nell’espressione log_b n = log_a b · log_a n, vista in precedenza, impostiamo n = a otteniamo che il log_b a = log_a b · log_a a e poiché log_a a è uguale a 1, come abbiamo visto nella seconda proprietà fondamentale dei logaritmi, risulta che il log_b a · log_a b = 1.

Da ciò si ricava che il 1/log_b a è l’inverso del log_a b dimostrando che il log_b a è l’inverso del log_a b.

Qui potrete vedere un’altra dimostrazione di questa importantissima proprietà.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_b a (cioè log_b a = x) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, b^x = a e questa espressione è equivalente all’espressione b^x = a¹.

Per la definizione di logaritmo abbiamo che log_a b^x = 1. Perciò, sostituendo a x l’espressione log_b a, otteniamo che il log_a b · log_b a = 1, dimostrando che il log_b a è l’inverso del log_a b.

C.V.D.

Osservazione 2

Dopo quello che abbiamo dimostrato risulta ovvio anche che il log_a n = log_b n / log_b a.

Cologaritmo

Si definisce cologaritmo di un numero, il cologaritmo è l’opposto del logaritmo del medesimo numero. Cioè il cologaritmo è il logaritmo moltiplicato per -1.

Cioè colog_a n = − log_a n.

In genere si usano i cologaritmi per evitare di eseguire le sottrazioni.

Esempio

Se il log_a b = 5,42356 il suo cologaritmo sarà uguale a -5,42356, cioè colog_a b = -5,42356.

Da quello che abbiamo appena detto, è ovvio che log_a (m/n) = log_a m − log_a n = log_a m + colog_a n.

Antilogaritmo

Si chiama antilogaritmo una delle due operazioni inverse del calcolo logaritmico (l’altra operazione inversa si chiama “calcolo delle radici”).

Perciò, nell’equazione log_a b = x, abbiamo il valore del logaritmo (x) e della base (a) e l’antilogaritmo è quell’operazione che permette di trovare il valore di b.

Quest’operazione si scrive b = antilog_a x che, per la definizione di logaritmo, la possiamo calcolare tenendo conto che b = a^x.

Osservazione

Possiamo calcolare una qualunque equazione esponenziale con base b se siamo in grado di calcolare una qualunque equazione esponenziale con base a.

Cioè b^x = a^{x · log_a b}.

Dimostrazione

Se indichiamo con y il log_a b (cioè log_a b = y) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, a^y = b.

che b = a^y e sostituendo a y l’espressione log_a b otteniamo b = a^{log_a b} ed elevando, alla x, entrambi i termini otteniamo b^x = (a^{log_a b})^x = a^{x · log_a b}.

C.V.D.

Altre proprietà dei logaritmi

Qui potrete vedere altre cinque proprietà dei logaritmi che, in qualche caso, potrebbero essere utili.

1) Il logaritmo dell’inverso della base è uguale a -1.

Cioè log_a 1/a = −1.

Dimostrazione

Poiché 1/a = a⁻¹ allora, per la definizione di logaritmo, abbiamo che il log_a 1/a = −1.

C.V.D.

2) Il logaritmo con base uguale all’inverso del numero è uguale a -1.

Cioè log_1/a a = −1.

Dimostrazione

Poiché a = (1/a)⁻¹ allora, per la definizione di logaritmo, abbiamo che il log_1/a a = −1.

C.V.D.

3) Il logaritmo in base “a” di “1/n” è uguale all’opposto del logaritmo in base “a” di “n” oppure è uguale al cologaritmo in base “a” di “n”.

Cioè log_a 1/n = − log_a n = colog_a n.

Dimostrazione

La dimostrazione è talmente tanto semplice che, a mio parere, non necessita di alcun commento.

log_a 1/n = log_a n⁻¹ = − log_a n = − log_a n = colog_a n.

C.V.D.

4) Il logaritmo in base “a” di “n” è uguale all’opposto del logaritmo in base “1/a” di “n” oppure è uguale al cologaritmo in base “1/a” di “n”.

Cioè log_a n = − log_1/a n = colog_1/a n.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_a n (cioè log_a n = x) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, a^x = n.

Perciò che (1/a)^−x = n, che equivale a a^x = n e per la definizione di logaritmo abbiamo che log_1/a n = −x e, per il terzo teorema fondamentale dei logaritmi, abbiamo log_1/a n = − log_a n. Poiché x = log_a n otteniamo che il log_a n = − log_1/a n.

C.V.D.

5) Il logaritmo in base “a” di “n” è uguale al logaritmo in base l’inverso di “a” dell’inverso di “n”.

Cioè log_a n = log_1/a 1/n.

Dimostrazione

Se indichiamo con x il log_a n (cioè log_a n = x) allora abbiamo, per la definizione di logaritmo, a^x = n.

Questa espressione equivale a (1/a)^−x = 1/n, perciò (1/a)^x = 1/n. Per la definizione di logaritmo abbiamo che log_1/a 1/n = x e poiché x = log_a n otteniamo l’espressione log_a n = log_1/a 1/n.

C.V.D.

Basi dei logaritmi

Ogni numero, se maggiore di 0 (zero) e diverso da 1, può essere utilizzato come base dei logaritmi.

Nella stragrande maggioranza dei casi le basi utilizzate sono ristrette a soltanto due numeri, il numero 10 ed il numero trascendente “e” che vale 2,71828182845904523536…

Il numero 10 si giustifica da alcune proprietà, che saranno illustrate successivamente, e dalla semplicità dei vari calcoli che ne derivano. Normalmente tali logaritmi si designano con “log” ma, per evitare possibili errori o fraintendimenti, saranno designati con log₁₀. Cioè saranno sempre scritti.