Logaritmi, definizioni, appunti, esercizi

Logaritmo C. Enrico – F. Bonaldi 1

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Logaritmo

Premessa

Consideriamo che si sappia risolvere il problema: dati due numeri reali a > 0 e n qualunque (intero, razionale, reale e > = < 0), trovare il numero reale aⁿ.

Gli inversi sono:

Problemi

a) Dati il valore di una potenza con base > 0 e il valore dell’esponente, trovare la base.

b) Dati il valore di una potenza con base > 0 e il valore della base, trovare l’esponente.

Il primo problema, se indichiamo con x la base, si traduce nell’equazione:

xⁿ = b

L’analisi di tale equazione porta a queste considerazioni:

* Se n = 0 e 0 < b diverso da 1 l’equazione non ha soluzioni.

* Se n = 0 e b = 1 l’equazione è indeterminata: infatti qualsiasi numero elevato allo “0” dà come valore: 1.

* Se n diverso da 0, eleviamo entrambi i membri dell’equazione a 1/n e otteniamo:

x = b^1/n

e quindi x è univocamente determinato.

* Se poi n è un numero reale razionale > 0, il valore di x viene determinato estraendo la radice e si ottiene:

x = b^1/n = ^q√b^p

Il secondo problema invece è nuovo. Siano a > 0 la base, b il valore della potenza e x l’esponente, l’equazione che risolve il problema è:

a^x = b.

Analizzando i vari casi si ha:

* Se a = 1 e b diverso da 1, l’equazione è impossibile perché ogni potenza di 1 vale 1.

* Se a = 1 e b = 1, l’equazione è indeterminata (qualunque valore di x la soddisfa).

* I casi veramente importanti sono:

• A > 1 e b > 0
• 0 < a < 1 e b > 0

e si può dimostrare che in ciascuno di questi casi l’equazione, detta equazione esponenziale, a^x = b ha una e una sola soluzione. www.matematicamente.it

Logaritmo C. Enrico – F. Bonaldi 2

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Esempi

L’equazione 3^x = 81 ha come unica soluzione x = 4.

L’equazione (1/2)^x = 1/8 ha come unica soluzione x = 3.

L’equazione 2^x = 1/8 ha come unica soluzione x = -3.

L’equazione 5^x = 1/625 ha come unica soluzione x = -4.

Definizione di logaritmo

Il numero x soddisfacente l’equazione esponenziale a^x = b viene chiamato logaritmo in base a di b.

Pertanto si definisce logaritmo (log) in base a di b, l’esponente che si deve dare ad a (la base) per ottenere b.

Esempi:

log₁₀ 100 = 2; infatti 10² = 100

log₂ 1/8 = -3; infatti 2^-3 = 1/8

log₅ (1/5)⁴ = -1; infatti (4/5)^-1 = 4/5

log₂ (16/81)^2/3 = 4; infatti 2⁴ = 16/81

Dalla definizione si deduce che le equazioni:

a^x = b e x = log_a b

sono equivalenti e possono essere scritte anche:

log_a b = x

a^{log_a b} = b

Pertanto, nella stessa base, le due operazioni di innalzamento a potenza e di estrazione di logaritmo applicate successivamente a uno stesso numero non lo cambiano e sono quindi operazioni l’una inversa dell’altra.

Più chiaramente, se si parte da una base assegnata a, la si eleva alla potenza x e poi, di questo numero così ottenuto, si prende il logaritmo in base a, si ottiene ancora il numero x. www.matematicamente.it

Logaritmo C. Enrico – F. Bonaldi 3

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Esempi

10³ = 1000; log₁₀ 1000 = 3 = x

a = 10; x = 3; 10³ = 1000; log₁₀ 1000 = 3 = x

log₃ x = 1/2; trovare x; x = (1/3)^-1/2 = 2/3

Basi dei logaritmi

Le basi di uso comune sono due:

• Base 10; i logaritmi sono chiamati volgari o decimali o di Briggs e si indicano generalmente con “log”.
• Base e; numero irrazionale il cui valore approssimato è: 2,71828; i logaritmi sono chiamati naturali o neperiani. Vediamo più da vicino questi ultimi.

Logaritmo naturale o neperiano

Un modo molto usato di abbreviare “logaritmo naturale” è quello di scrivere ln.

Ad esempio ln 3 = log_e 3. Il numero e è molto importante in matematica e viene definito come:

e = lim_{n → ∞} (1 + 1/n)ⁿ

Se ad esempio si prova a calcolare il valore della successione si ottiene:

Per n = 100: 2,7048

n = 100000: 2,71826

n = 1000000: 2,7182805 etc.