Heat and mass transfer

Name: Heat and mass transfer
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Author: giagua

Revisionato il 03/09/2026

di giagua

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Appunti di termofluidodinamica. CONDUZIONE eq differenziale generale della conduzione condizioni al contorno (Dirichlet Newman Robin ) es solidi e casi comuni (cilindro piastra sfera) regime …

Esame Heat and mass transfer in food processing

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bozzoli Fabio

Università Università degli Studi di Salerno

A.A. 2016-2017

70 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Scambio/trasmissione di calore

Mezzi solidi o liquidi in quiete.

Non equilibrio termodinamico.

Equazione differenziale generale della conduzione

Eq. differenziale generale della conduzione alle derivate parziali di secondo grado non lineare (quando i termini che moltiplicano le derivate dipendono dalla temperatura).

ρ_pC_p^∂T⁄_∂t = div(λ grad T) + q_g

ρ densità [^kg⁄_m³]
C_p calore spec. press. costante [^J⁄_{kg K}]
T temperatura [K]
t tempo [s]

Operatore div

div, dato un campo vettoriale F in un sistema di coordinate cartesiane xyz, opera sul campo e restituisce un risultato scalare.

f = f_x î + f_y ĵ + f_z k̂

div(f) = ∂f_x⁄_∂x + ∂f_y⁄_∂y + ∂f_z⁄_∂z

λ conduttività → capacità di conduzione [^W⁄_mK]

Operatore grad

grad, dato g campo scalare in un sistema vettoriale XYZ.

grad(g) = ∂g⁄_∂x î + ∂g⁄_∂y ĵ + ∂g⁄_∂z k̂

q_g potenza generata per unità di volume W/m³.

Ipotesi più comuni

Mezzo isotropico (si evitano complicazioni nelle formule).
Mezzo omogeneo nei confronti di ρ e C_p (altrimenti è necessario potenziali dentro le derivate).
λ non è omogeneo nel mezzo ma variabile con la posizione o la T (se omogeneo si può portare fuori dal divergente).

Legge di Fourier

Legge di Fourier: q̇ = -λ grad(ṫ) = [^W⁄_m²]

Scambio/trasmissione di calore

Mezzi solidi o liquidi in quiete.

Non equilibrio termodinamico.

Equazione differenziale generale della conduzione

Eq. differenziale generale della conduzione alle derivate parziali di secondo grado non lineare [quando i termini che moltiplicano le derivate dipendono dalla temperatura].

p densità ^[Kg/m³]

Cp calore spec. press. costante ^{[J/Kg K]}

T temperatura ^[K]

t tempo ^[s]

Operatore div

div, dato un campo vettoriale F in un sistema di coordinate cartesiane xyz, opera sul campo e restituisce un risultato scalare.

f = fx i + fy j + fz k̂

div(f) = ∂fx/∂x + ∂fy/∂y + ∂fz/∂z

λ conduttività → capacità di conduzione ^{[W/m K]}

Operatore grad

grad, dato g campo scalare in un sistema car XYZ.

grad(g) = (∂g/∂x) î + (∂g/∂y) ĵ + (∂g/∂z) k̂

qg potenza generata per unità di volume W/m³.

Ipotesi più comuni

Mezzo isotropico (si evitano complicazioni nella formula).
Mezzo omogeneo nei confronti di p e Cp (altrimenti è necess. potenziali dentro le derivate).
λ non è omogeneo nel mezzo ma variabile con la posizione o la T (se omogeneo si può portare fuori dal divergente).

Legge di Fourier

Legge di Fourier: q̇^- = -λ grad(ṫ) = [W/m²]

Semplificazione dell'equazione

Oss: in molti casi si ha λ cost. e si può semplificare l'eq.

ρC_p ^∂T/_∂t = ∇ div (λ ∇ grad T) + q_g

= λ div (∇ grad T) + q_g

= λ div ( ^∂/_∂x + ^∂/_∂y + ^∂/_∂z) ^∂T/_∂z ^ ^ ) + q_g

= λ( ^∂²T/_∂x² + ^∂²T/_∂y² + ^∂²T/_∂z²) + q_g

= λ ∇²T / laplaciano

Condizioni iniziali e al contorno

Per risolvere un problema è necessario conoscere il dominio Ω e la frontiera S oltre alle condizioni iniziali, ovvero:

Ω S ρ C_p T(i², t₀) (= temper. in ogni punto del dominio per t = 0.

Cond. al contorno.

Condizioni sulla superficie-contorno.

I tipo: condizione di Dirichlet => temper. sul contorno costante. T (i∈ S) = cost.
II tipo: cond. di Neumann => flusso superficiale imposto. q_s = q ^ n ^ = f(i∈ S)
III tipo: cond. di Robin => cond. convettiva. q_s = q ^ n ^ = -λ ^∂T/_∂n |_S = h (T_S - T_∞)

Non si sono considerati fenomeni di irraggiamento che comporterebbero complicazioni.

Esempi e casi particolari

Caso A -> probl. monodirezionale strato piano indefinito.

Ip. 1: regime stazionario.

q_θ=0

λ = λ (T) = λ (x)

T̅ = T̅_m

Condizioni al contorno.

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