Gradiente di temperatura

Gradiente di temperatura e primo principio della termodinamica

Considerare la sbarra di figura. Sia L=25 cm, A=1,0 cm² e il materiale sia rame. Se T₁=125°C e T₂=0°C e siamo in condizioni stazionarie, trovare:

Calcolo del gradiente di temperatura

a) Il gradiente di temperatura:

Il gradiente di temperatura è definito come la variazione di temperatura per unità di lunghezza. Si calcola come:

\[ \frac{{T_1 - T_2}}{L} = \frac{{125\,^\circ\text{C} - 0\,^\circ\text{C}}}{25\,\text{cm}} = \frac{125}{25} = 5\,^\circ\text{C/cm} \]

Quantità di calore trasmessa nell'unità di tempo

b) La quantità di calore trasmessa nell'unità di tempo:

Utilizzando la legge di conduzione di Fourier:

\[ \frac{dQ}{dt} = -kA \frac{{\Delta T}}{L} \]

Dove \( k \) è la conducibilità termica del rame (approssimativamente \( 385\,\text{W/m}\cdot^\circ\text{C} \)), \( A = 1,0\,\text{cm}^2 = 0,0001\,\text{m}^2 \) e \( \Delta T = 125\,^\circ\text{C} \).

\[ \frac{dQ}{dt} = -385 \times 0,0001 \times \frac{125}{0,25} = -385 \times 0,0001 \times 500 = -19,25\,\text{W} \]

(Il segno negativo indica che il calore fluisce in direzione opposta al gradiente di temperatura)

Temperatura a 10 cm dall'estremo più caldo

c) La temperatura in un punto della sbarra a 10 cm dall'estremo più caldo:

Utilizzando il gradiente di temperatura calcolato:

\[ T(x) = T_1 - \left(\frac{{T_1 - T_2}}{L}\right) \times x \]

Con \( x = 10\,\text{cm} \):

\[ T(10) = 125 - 5 \times 10 = 125 - 50 = 75\,^\circ\text{C} \]