Analisi matematica: Goniometria

Goniometria

Angolo

Angolo: parte di piano delimitata da 2 semirette aventi il vertice in comune.

L'angolo si misura in gradi α ⁰: ¹/₃₆₀ dell'angolo giro o in radianti α = ^L/_r 360 ⁰ = ^2πr/_r = 2π; x ^creadi/₃₆₀: 2π; α ⁰: ^{α creadi 360}/_2π; x ^rad = α ^2π;/₃₆₀

Un angolo si dice orientato quando sono stati scelti un senso di rotazione e uno dei due è l'origine.

• Se la rotazione è in senso antiorario -> Positivo
• Se la rotazione è in senso orario -> Negativo

α positivo

β negativo

ES 380 ⁰ - 360 ⁰ + 20 ⁰

Circonferenza goniometrica

Ha come centro l'origine. L' x di raggio 1.

B = punto di intersezione tra il raggio e la circ. goniometrica.

P = origine degli archi.

Su di essa posso rappresentare gli angoli orientati. L'asse delle x è l'asse degli archi.

Le funzioni goniometriche associano un numero reale alla misura dell'ampiezza di ogni angolo.

Goniometria

Angolo: parte di piano delimitata da 2 semirette aventi il vertice in comune.

L'angolo si misura in gradi α: 1 = 360 all'angolo più o in radianti α = ^A/_r 360 = ^2πr/_r = 2π; x → x rad : 360 = x ° : 2π; α' = ^{α x rad x 360}/_2π; x rad = ^{α x 2π;}/₃₆₀

Un angolo si dice orientato quando sono stati scelti un senso di rotazione e uno dei due è l'origine.

• Se la rotazione è in senso antiorario → Positivo
• Se la rotazione è in senso orario → Negativo

α positivo

β negativo

ES 380° - 360° + 20°

Circonferenza goniometrica

Ha come centro l'origine (ass) di raggio r.

A B ⇒ punto di intersezione tra il raggio e la circonferenza goniometrica.

P → origine degli archi.

Su di essa posso rappresentare gli angoli orientati (l'asse delle x e l'asse all'origine).

Le funzioni goniometriche associano un numero reale alla misura dell'ampiezza di ogni angolo.

Seno e coseno

Considero la crf goniometrica e un angolo orientato x: si definiscono cos x, sen x le funzioni che ad x associano rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto B.

-1 ≤ sen x ≤ 1

-1 ≤ cos x ≤ 1

Seno e coseno hanno come dominio tutto R poiché per ogni valore di x esiste uno ed un solo punto sulla crf goniometrica.

• + + | I quadrante
• - + | II quadrante
• - - | III quadrante
• + - | IV quadrante

Codominio [-1, 1]

Funzioni -> Pari -> f(x) = f(-x)

Dispari -> f(-x) = -f(x)

Coseno funzioni pari.

Seno funzioni dispari.

Pari: cos(-α) = cosα

Dispari: sen(-α) = -senα

sen x     x ∈ [0; 2π;]     rappresento un angolo

0 π/2 π 3/2π 2π = 360°

Angolo pari a π

Angolo giro 2π

90° = π/2

sen α = sen (α + 2π) sin (α + 4/α)

sen (k + 2k π) k ∈ Z

Sinusoide

y = cos x     x ∈ [0; 2π;]

y = cos x

Per cui il rapporto 1

Prima relazione fondamentale

cos²α + sen²α = 1

eq. crf: x² + y² = 1

OÂB = âOÂ + ÂB = âOA² + AB² - OB² -> il raggio della crf fonica è sempre 1

sen²α = 1 - cos²α

sen α = ±√1 - cos²α

cos²α = 1 - sen²α

cos α = ±√1 - sen²α

Funzione tangente

Considerando una crf goni e un angolo α orientato su di essa si dice tgα la funzione che ad α associa il rapporto, quando esiste, fra l'ordinata e l'ascisse del punto B.

tg α = _yB/_xB

Se x_B = 0 non esiste.

Il dominio della funzione tangente è tutto R escluso π/2 + kπ.

D. α ≠ π/2 + kπ

tgα_def: y_T

OP ⟂ OÂB

TP = AB - OP: OA

y_T: y_B: 1: x_B

y_T = y_B: 1/x_B

• 1 - quadrante
• 2 - quadrante
• 3 - quadrante
• 4 - quadrante

y = tg x ∈ [0, π;]

La retta tangente coincide con l'asse delle y.

La funzione tangente è periodica alta π ini.

tg(α + π) = -tg(α + 2 x) = -tg(α + k π)

k ∈ Z

Il grafico della tangente su tutto R__ è detto tangentoide. Ogni π/2 si ripete figurale.

Seconda relazione fondamentale

_{tg α = ^{sen α} / cos α}

^{tg α def = yB / _xB}

Cotangente

ctg α = ^x_B/_yB → è l'inversa della tangente

→ è l'ascissa di Q

Se y_B = 0 → x_B/_yB non esiste.

Il dominio è tutto R escluso α ≠ kπ

Se α ∈ Z π non esiste

x: non esiste

ctg α = 1 / tg α = ^cosα/_senα

Angoli particolari

π/6 (30°)

α = 30° = π/6

∠BCĤ = 60°

∠CĤBĤC = ∠BCĤ∠HĤC = 30° = π/6

∠BĤC = equilatero

OC = 1

AB = sen π/6 = ¹⁄₂

√OB² - AB²

tan(π/6) = ¹⁄_√3

³⁄_√3 = ^√3⁄₃

α = π/4 - 45°

OĥBĥ = α

∠OĥAĥB = isoscele

OA = AB = OĤBĥ

OA² + AB² = OB²

2OA² = 1

OA² = 1/2 > OA = 1/√2

OA = 1/√2 = 1/√2 = √2/2

_{sen π/u} → ^{cos π/u}

tga = sen/cos = √2/2/√2/2 = 1

α = π/3 = 60°

OĤAĥ = 30°

BĤPĥ = ∠BĥP

∠OĤPĥB = equilatero

OP = 1

OA = OP/2 = 1/2 → cos π/3

sen π/3 = √1-(1/2)² = √1-1/4 = √3/4 = √3/2

tga = sen/cos = √3/2/1/2 = √3/1 = √3

Angoli associati

Hanno valori delle funzioni goniometriche uguali a quelli di α:

α è - α

sen(-α) = - senα

cos(-α) = cosα

tg(-α) = ^senα/_cosα = - tgα

α è 2π - α

sen(2π - α) = - senα

cos(2π - α) = cosα

tg(2π - α) = ^-senα/_cosα = -tgα

α è π - α

sen(π - α) = senα

cos(π - α) = - cosα

tg(π - α) = ^senα/_-cosα = -tgα

α è π + α

sen(π + α) = - senα

cos(π + α) = - cosα

tg(π + α) = ^-senα/_-cosα = + tgα

α ∈ π/2 - α

sen(π/2 - α) = cosα

cos(π/2 - α) = senα

tg(π/2 - α) = cosα/senα → ctgα

α ∈ π/2 + α

sen(π/2 + α) = cosα

cos(π/2 + α) = -senα

tg(π/2 + α) = -ctgα

α ∈ 3π/2 - α

sen(3π/2 - α) = -cosα

cos(3π/2 - α) = -senα

tg(3π/2 - α) = tgα

α ∈ 3π/2 + α

sen(3π/2 + α) = -cosα

cos(3π/2 + α) = senα

tg(3π/2 + α) = -ctgα