Numeri interi, razionali e reali

Luca Lussardi: appunti di Analisi I

Numeri interi, razionali e reali

L’insieme dei numeri naturali è certamente troppo povero per la Matematica. È necessario quindi ampliarlo e arricchirlo.

I numeri interi

L’operazione di somma è ben definita nell’insieme N; si ha che, per esempio, se n ≤ m allora esiste uno ed un solo p tale per cui n + p = m; tale p si denota anche con p = m − n.

Tuttavia ciò non è più vero se n > m. I numeri interi tornano utili per porre rimedio a tale inconvenienza; l’insieme dei numeri interi, denotato con Z, è definito come l’insieme unito all’insieme dei cosiddetti numeri negativi, ovvero l’insieme dato da {−1, −2, −3, …}: si ha quindi Z = N ∪ {−1, −2, −3, …}.

Nell’insieme Z è anzitutto ben definita l’operazione di somma, estensione della somma tra numeri naturali.

Esempio: Risulta −1 + 4 = 3, oppure ancora −5 + 2 = −3.

Ben definito è anche il prodotto tra due numeri interi, seguendo la cosiddetta regola dei segni che fornisce il segno del prodotto tra due numeri interi, una volta noto il segno dei due fattori.

Più precisamente la regola dei segni si può riassumere, formalmente, come segue:

+ · + = +; + · − = −; − · + = −; − · − = +.

Esempio 2: Risulta 3 · (−6) = −18, od ancora (−1) · (−2) = 2 (i numeri senza segno sono da considerarsi, per convenzione, positivi).

In base a quanto detto, in Z esiste un’ulteriore operazione ben definita, che è la differenza:

in Z l’operazione z − p ha infatti sempre un risultato, e precisamente z − p = q se e solo se z = p + q.

I numeri razionali

Un’altra operazione che crea problemi è l’inversione del prodotto: se p, q ∈ Z non è detto che esista un numero intero r tale per cui si abbia p = q · r. Per dare una soluzione a questo problema si introducono i numeri razionali, ovvero i numeri della forma p/q (le cosiddette frazioni), dove p e q sono due numeri interi, con q ≠ 0.

In realtà il passaggio all’insieme Q non è così indolore come può sembrare: va fatta attenzione al fatto che diverse coppie di numeri interi possono corrispondere allo stesso numero razionale (due frazioni possono essere equivalenti): allo scopo si pone

p₁/q₁ ⇔ p₁q₂ = p₂q₁.

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