Giostra a forma di disco

Giostra a forma di disco

Giostra a forma di disco

Una giostra a forma di disco, di raggio R = 2 m, massa M = 200 kg e densità di massa costante, inizia a girare sottoposta ad una forza di modulo F tangenziale ad essa che dura per tre giri completi. Questa forza è proporzionale al tempo secondo la relazione

F = kt

dove k=1.5 N·s^-1 è una costante e si è assunto che t = 0 quando la forza inizia a far girare la giostra. Calcolare la velocità angolare della giostra alla fine del terzo giro. Se, dopo il terzo giro, una persona di massa m = 30 kg salta sulla giostra ad una distanza di r = 0.35 m dal centro, quanto vale la velocità angolare del sistema, detta Ω, subito dopo? Si supponga che la persona, a seguito del salto, eserciti una forza parallela al raggio verso il centro.

L’equazione che regola la rotazione della giostra sottoposta ad una forza esterna di modulo F applicata tangenzialmente al disco è la seguente

RF = _d/_dt(ωI) = I_ω

che deriva da

R × F = _d/_dtL

dove I è il momento d’inerzia calcolato rispetto all’asse di rotazione, L il momento angolare e il punto sopra la velocità angolare omega ne indica la derivata temporale. Infatti il momento della forza esterna ha modulo

R × F = RF

e il momento angolare della giostra

L = I_ω

è parallelo all’asse di rotazione. Esplicitando il modulo della forza esterna usando l’equazione

F = kt

fornita dal testo, si ha, per la velocità angolare, l’equazione differenziale a variabili separabili

dω = ^R/_I F(t) dt = ^Rk/_I t dt

da cui la soluzione, essendo omega(0) = 0,

ω(t) = ^Rk/_I ∫₀^t t dt = ^Rk/_2I t²

Occorre calcolare il tempo impiegato dalla giostra per effettuare tre giri completi, detto T₃, e poi calcolare omega(T₃). Tre giri corrispondono ad una rotazione di un angolo di 6(pi greco), sapendo che

ω = Ȧ = ^dθ/_dt

scriviamo l’equazione differenziale a variabili separabili

dθ = ω dt = ^Rk/_2I t² dt

da cui la soluzione, essendo θ(0) = 0,

θ(t) = ^Rk/_2I ∫₀^t t² dt = ^Rk/_6I t³

Dopo tre giri, al tempo t = T₃, si ha θ(T₃) = 6(pi greco) e dunque si ottiene l’equazione di terzo grado in T₃

_Rk/^6I t³ = 6π

la cui unica soluzione reale è

T₃ = ³√_36πI/^Rk

In corrispondenza della fine del terzo giro, quando la forza esterna cessa di esistere, la velocità angolare della giostra, usando l’equazione precedente con t = T₃, vale

ω = ω(T₃) = ^Rk/_2I ( ^36πI/_Rk )^2/3 = 3 ( ^6π2Rk/_I )^1/3

Il momento d’inerzia della giostra rispetto all’asse di rotazione I si può calcolare come

I = ∬_S ρr² dS

dove S è la superficie del disco, r la distanza di un punto del disco dal suo centro e ρ la sua densità di massa che è costante per ipotesi. Utilizzando le coordinate polari piane

{ x = r cos α y = r sin α

per cui

dS = dxdy =   | ∂x      ∂y |   | ∂r      ∂r |   |          |   | ∂x      ∂y |   | ∂α      ∂α |

drdα = r dr dα

l'integrale diventa

I = ρ ∫₀^2π dα  ∫₀^R dr r³ = 2πρ  R⁴₄

da cui, usando il fatto che la densità coincide con la densità media e che dunque

ρ = M = M       S        πR²

dove M è la massa totale della giostra, si ottiene il momento d’inerzia per un disco omogeneo di raggio R e massa M

I = 1 πρR⁴ = 1 MR²   2         2

Con questo risultato, la velocità angolare della giostra alla fine del terzo giro, dalle equazioni precedenti, si scrive come

Sostituendo i dati a disposizione, cioè k=1.5 N⋅s⁻¹, M = 200 kg e R = 2 m, si ottiene il valore

Quando la persona salta sulla giostra, ad una distanza r dal centro, esercita una forza esterna parallela al raggio verso il centro che non introduce un momento di una forza esterna, in quanto

Dunque il momento angolare totale del sistema si conserva nel tempo

La velocità angolare prima del salto è pari a omega che abbiamo calcolato precedentemente. Dopo il salto, sia Omega la velocità angolare del sistema