Geometria - procedure esercizi

Retta contenuta in π formante un angolo θ con retta incidente con π

Passo 1 Trovare il punto di incidente tra π e r.

Passo 2 Trovare i vettori di giacitura di π e r.

Passo 3 Imporre: cos θ = (vr•vs)/(|vr||vs|) assumendo che vs sia il vettore generico di giacitura (l,m,n).

Passo 4 Imporre le condizioni s ∈ π, ciò implica che: vs ⊥ vr π = 0.

Passo 5 Costruire il sistema tramite le condizioni (Passo 4/9), individuare i possibili vettori di giacitura di s e un loro rappresentante.

Passo 6 Trovare le equazioni parametriche (P0 -> vettore applicato vettore incidente π) piano passante per un punto ed ortogonale a una retta π.

Essendo il piano ortogonale a π il vettore di giacitura di r sarà anche il vettore normale del π passante.

Metodo I

Stella di piani: ⇒ a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 dove P(x0,y0,z0) => punto P(π) vr = vn = (a,b,c).

Metodo II

Fascio improprio di piani: ax0 + by0 + cz0 + oI = 0 vr = rN = (a,b,c) P(x0,y0,z0) Trovo oI e il piano sarà: ⇒ ax + by + cz + oI = 0.

Retta contenuta in π formante un angolo θ con retta incidente con π

Passo 1 Trovare il punto di incidente tra π e r.

Passo 2 Trovare i vettori di giacitura di π e r.

Passo 3 Imporre: \( \cos \hat{\theta} = \frac{v_π \cdot v_s}{|v_π||v_s|} \) assumendo che v_s sia il vettore generico di giacitura (l, m, λ).

Passo 4 Imporre la condizione \( s \subset π \), cioè implica che: v_s ∧ v_π = 0.

Passo 5 Costruire il sistema tramite le condizioni di passo 4/3, individuare i possibili vettori di giacitura di s e un loro rappresentante.

Passo 6 Trovare le equazioni parametriche (P₀ = vettore applicato vettore incidente su π) del piano passante per un punto ed ortogonale ad una retta π essendo il piano ortogonale a r il vettore di giacitura di r sarà anche il vettore normale di π passante.

Metodo I

Stella di piani \( a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0 \) dove P(x₀,y₀,z₀) → punto P cont \( v_π = \bar{v_π} = (a, b, c) \).

Metodo II

Fascio improprio di piani \( ax₀ + by₀ + cz₀ + o \lambda = 0 \) v̂ = λṅ - ι(λ₁biċ), P(x₀,y₀,z₀) trovo qs e il piano serie ⇒ \( ax + by + cz + o \lambda = 0 \).

Verificare che due rette sono coincidenti

Siano:

M: x = P_0x + λ y = P_0y + λ z = P_0z + λ.

S: x = Q_0x + 2λ y = Q_0y + 2λ z = Q_0z + 2λ.

S: verifica X emg sono paralleli. Ovvero i vettori di giacitura sono uguali, tra loro proporzionali. Successivamente si ricerca una relazione tra il punto P₀(P_0x,P_0y,P_0z) di m (o Q₀(Q_0x,Q_0y,Q_0z) con le rette S e che dipende dal punto).

P_0x = Q_0x + λ₁λ P_0y = Q_0y + 2λ P_0z = Q_0z + 2λ.

Se riesci a trovare vettori uguali tra di loro allora P₀ si trova su S quindi m∥S e saranno Coincidenti.

Retta passante per 2 punti

Metodo 1

Siamo P₀ ⟶ punti di applicazione e P₁ ⟶ generico punto dobbiamo trovare le rette passanti per questi due punti.

• Troviamo il vettore di giacitura→ ν = P₀P₁ = (x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z₀).
• Scriviamo le parametriche.

x = P_0x + λ ν_x y = P_0y + λ ν_y z = P_0z + λ ν_z.

Metodo 2

Definiamo: POX = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) Costruiamo matrice che deve avere rango = 1.

x-x₀ y₁ z₁ ν₁ y-y₀ y₂ z₂ ν₂ z-z₀ y₃ z₃ ν₃.

Risolviamo 2 minori di ordine 2 e li poniamo uguali x-x₀ y₀ ν₁ y-y₀ y₁ ν₂ = 0.

Minima distanza tra due rette sghembe

Diviene fasi:

Fase 1 Trovare un piano che contenga le nostra rette r, che sia un piano parallelo alle rette s.

Le situazioni:

Fase 2 Fascio proprio di piani: per individuare utilizzo una combinazione lineare delle equazioni delle rette. α ( x + y + z ) + β ( x + z + 1 ) = 0 (ho considerato rette casuali). Da qui individuo il vettore normale.

Fase 3 Imporre la condizione Π // s → pertanto Ξ ⊥ r ⇒ Ξ.v_Π = 0 trovando così un generico vettore di giacitura su Π.

Fase 4 Dopo aver considerato un vettore di giacitura specifico, costruisco l'equazione del piano Π // s d(P,Π) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²) ⇒ base la minima distanza.

Piano passante per due punti e ortogonale ad un piano

Imporre il sistema delle condizioni dato che: Ξ - P₀ = vettore giacitura sulla parallela al piano cercato v_Π ⊥ v_Π ⇒ v_Π.Ξ = 0.

Piano passante per due punti

Siano P₀ e P punti, in particolare procedura:

• Trovo v = P₀P = vettore giacitura rette.
• Combinazione lineare con la retta tramite forze proprie.

Vettori complanari

3 vettori sono sempre complanari tra loro. Per verificare se un quarto vettore lo è basta: addurre il piano ...

Piano bassa contenente due rette

Due casi:

Rette incidenti: se sono date in forma parametrica e conosciamo i vettori giacitura e il punto d'intersezione: {x = x_p + l v₄ + a v_5x y = y_p + l v_4y + a v_5y z = z_i + l v_4z + a v_5z} P(punto d'incidutta).

Se sono date in forma cartesiana: Il vettore direzione al piano sarà: (a, b, c) = v_4x x v_5x.

Gioco |v_4x v_5x| seguente: a x + b y + (c z + o) = 0 |x y z | Sono l’aputati del piano per trovare il punto di intersezione.

Rette parallele: otteniamo il vettore direzione unica per entrambe le rette, consideriamo un punto P appartenente ad una retta e un punto Q appartenente all'exothe.

Utilizziamo due punti per trovare una oblazione da non oblate del vettore costante comune: W = P - Q.

Importante perché passaggio per P ci evamo il nostro piano.

Trovare eq. sfera sapendo che passa per P e Q ed è tangente ad un piano

Sia π il piano a tangente alla sfera e Q-P due punti di tangenza. Per determinarne l’equazione procediamo:

Passo 1 Trovare piano retta normale per Q e perpendicolare a π.

Passo 2 Troviamo un piano equidistante da P e Q trovando un punto generico del piano: PA = QA P(x,y,z).

Passo 3 Intersechiamo la retta e il piano trovato, per inochiarci così: il centro della sfera.

Passo 4 Troviamo il raggio con: = PC = R.

Passo 5 Troviamo l’equazione della sfera con: (x-xc)² + (y-yc)² + (z-zc)² = R².

Studiare circonferenza ottenuta intersecando piano e sfera

Siano π e Σ piano e sfera, procedura:

Passo 1 Trovo raggio e centro per la sfera.

Passo 2 Trovo retta passante per Σ₁ e ⊥ π.

Passo 3 Interseco retta trovata con il piano π, trovando il centro della circonferenza.

Passo 4 Trova le distanze tra C₁ tramite le disento ((Σ, π)) e poi Trova il raggio, come R=√R²-C²C₁².

Trovare sfera tangente ad una retta con centro contenuto in una retta

Sia r la retta tangente in P alla sfera e g la retta contenente il centro di S, procedure:

Passo 1 Troviamo il piano ortogonale e che passa per P, che contiene g ed r.

Passo 2 Intersezione con S e piano trovato, trovando così il centro della sfera.

Trovare piani che tagliano una sfera secondo una specifica circonferenza

Considerando un fascio generico di piani del tipo α x + β y + γ z = 0, si cerca dato il centro della circonferenza generata dall'intersezione con il piano.

Passo 1 Trovare la distanza Tau il centro della sfera e il centro della circonferenza.

Passo 2 Trovare la distanza d((S, π)) in maniera tale da riuscire a risolvere le relazioni tra i coefficienti del fascio di piani che assolvono le condizioni.

Trovare punto di tangenza tra piano e sfera

S e S una sfera e π il piano tangente ad essa, si vogliono trovare i punti di tangenza conosciuto solo π e S.

Passo 1 Troviamo il raggio di S come d((C, π))=\(\frac{|α x_0 + β y_0 + γ z_0 + d|}{\sqrt{α^2 + β^2 + γ^2}}\).

Passo 2 Troviamo la retta perpendicolare al centro e a π.

Passo 3 Intersechiamo retta e piano, trovando così il punto di intersezione.

Trovare eq. sfera sapendo che passa per P e Q e tangente ad un piano

Sia π il piano tangente alla sfera e Q il suo punto di tangenza. Per ottenerne l'equazione facciamo:

Passo 1 Trovare piano rita passante per Q e perpendicolare a π.

Passo 2 Troviamo un piano equidistante da P e Q considerando un punto generico: PA = QA (x_C, y_C, z_C).

Passo 3 Sosteniamo le rette e il piano trovato, individuando così il centro della sfera.

Passo 4 Troviamo il raggio con: PC = R.

Passo 5 Troviamo l'equazione della sfera con: (x-x_C)² + (y-y_C)² + (z-z_C)² = R².

Studiare circonferenza ottenuta intersecando piano e sfera

Siano π e σ piano e sfera, procedura:

Passo 1 Trovo raggi C e centro della sfera.

Passo 2 Trovo retta passante per C_Σ e ⊥ π.

Passo 3 Interseco retta trovata con il piano π, trovando il centro della circonferenza.

Passo 4 Trovo la distanza tra C_Σ e C' tramite le distanze di (σ, π) e poi trovo il raggio, come R = √(R_Σ-CC'²).

Trovare sfera tangente ad una retta con centro contenuto in una retta

Sia r la retta tangente in P alla sfera e s la retta contenente il centro del Σ, procedura:

Passo 1 Trovare il piano ortogonale a r passante per P che appartiene anche alla retta S.

Passo 2 Intersezione con S e piano trovato, trovando così il centro della sfera.

Trovare piani che tagliano una sfera secondo una specifica circonferenza

Considerarlo un fascio generico di piani; del tipo αx + βy + γz = 0 | r = r₀ dato il centro della circonferenza generato dall'intersezione con il piano.

Passo 1 Trovare la distanza tra il centro della sfera e il centro della circonferenza.

Passo 2 Trovare la distanza d(ξ, π) in maniera tale da individuare la relazione tra i coefficienti dei fascio di piani che stabiliscono le condizioni.

Trovare punto di tangenza tra piano e sfera

Se Σ una sfera e π il piano tangente ad essa, si vuole trovare il punto di tangenza conosciuto solo π e Σ:

Passo 1 Trovare il raggio di Σ come d((c, π) = |αx₀+βy₀+γz₀| / √(α²+β²+γ²).

Passo 2 Trovare la retta passante per C e ⊥ a π.

Passo 3 Intersezione retta e piano, trovando così il punto di intersezione.

Equazione di un cono

Si P₀ la curva γ e V il vertice del cono e si vuole individuare l'equazione di quest'ultimo:

Passo 1 Individuo un punto P₀ (x₀, y₀, z₀) e impongo che esso appartenga alla curva.

Passo 2 Individuo il vettore direzione delle rette passante per il vertice V: VP= (x₀ - x_V, y₀ - y_V, z₀ - z_V) e scrivo l'equazione parametrica: P = V + λ VP.

Passo 3 Estraendo dalle rel: i punti x₀, y₀, z₀ e l'ipolo e sostitut e nell'equazione del piano di γ con P ∈ γ trovado così il valore di λ.

Passo 4 Infine sostituire x₀, y₀, z₀ e λ nella canonica di γ (P ∈ γ).

Equazione del cono

Processo analogo al cono con un perpez: in mezzo in quadrio il vettore orizzione delle rette lo abbiamo già (ossia direzione delle direttrici: cilindro), e le rette passante per P₀ (x₀, y₀, z₀).

Equazione di un cono con V ti ∞ γ

Si &heart; ∪ il cono avente come vertice V, γ con rette interzate con il piano π cercando un angolo ø è l'equazione si trova nel seguente modo.

Si π ---> vettore direzione π.

Si VP ---> VP - vettore direzione ---> cos ø = Vπ . VP/ (vπ) . ( VP ).

Determinare se due rette sono complanari

Ciò si verifica se le due rette sono: incidenti coincidenti parallele.

Pertanto basta individuare il vettore normale e porre come: r_S • v_π = 0     o     r_R • v_π = 0.

E se conosciamo un punto del piano possiamo scrivere: a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0.

Retta di minima distanza

Passi per individuare tale retta:

• Determinare parametri direttori r_S e r_R.
• Individuiamo un vettore generico delle rette lo scrivere come v_R (l, m, n).
• Sistemo equazione di ortogonalità ν₀ con r_S e r_R.
• Troviamo fascio proprio di piani ν₁: M   impiano contenente r ovvero r_X // v_π.
• Fascio proprio dei piani di S; sezionando il piano contenente r ovvero r_S // v_B.
• Intersezione dei due piani trovati, risolvendo stelle determinare osservare [( t · π ⋂ δ )].

Retta passante per un punto e incidente a due rette

Siano r_I le rette e R il gruppo con cui prosegui. Procedura: [due x e z siano soluzione].

Fase 1: Costruire piano che contiene R e pass per P π ⊂ r → P.

Fase 2: Costruire piano che contiene S e pass per P δ ⊂ S → P.

Fase 3: E sono le rette date, all’intersezione tra π ⋂ δ   T: π ⋂ δ.

Equazione di cono circoscritto a una sfera

Fase 1: Individuare il piano che funge da spicatore della sfera, che contiene il centro della sfera e che esce come vettore direzione v - Cv.

Fase 2: Trovato il piano possiamo procedere nell'individuare l'espressione del cono: equazione sfera equazione piano.

Equazione cilindro circoscritto a una sfera

Fase 1: Individuare il piano che contiene il centro della sfera e uscirne come vettore normale il vettore della generatrice del cilindro.

Fase 2: Trovato il piano possiamo procedere nell'individuare l'espressione del cilindro: eq. sfera eq. piano.

Sfera tangente ad una retta in un punto

Fase 1: Individuare C_p e \( \sqrt{\pi} \).

Fase 2: Trovo il piano contenente il centro ed ortogonale alle rette.

Fase 3: \( \pi \bigcap \mu \rightarrow \) Trovo punto di tangente.

Fase 4: Disegno CP per trovare il raggio della sfera e trovare così le sue equazioni.

Piano contenente due rette parallele

Siano r e s due rette parallele e si voglia individuare il piano contenente entrambe le rette, fare:

Fase 1 Individuo un vettore di giacitura delle due rette _(v&sub1;).

Fase 2 Individuo due punti generici delle due rette e individuo P₀=M₀.

Fase 3 Risolvo | x-x₀ μ_x v_x | | y-y₀ μ_y v_y | | z-z₀ μ_z v_z | individuandosi così il piano.

Procedura alternativa: Utilizzo 2 fascio di piani: (1) Piano contenente una delle due rette e passante per un punto dell'altra retta.

Distanza punto retta

Siano P₁ e P₂ due punti, uno sulla retta, l'altro non appartenente ad essa e sia v_α il vettore di giacitura della retta; ho distanza punto retta pari a: d(P₁,retta) = ||P₂P₁ x v_α|| ||v_α||.

Luogo dei punti equidistanti tra due rette

d(P₁,retta) = d(P₂) => ||P₂P x v_α2|| |v_α1|| = ||P₂P x v_α2|| ||v_α2||.