Lezioni, Geometria lineare

Geometria

0 ≤ k < 1       k > 1

• Omotetia = contrazione o dilatazione
• Riflessione k < 0
• Traslazione

Corrispondenza biunivoca, ma fa perdere informazioni e mantiene le proporzioni.

Affinità = trasformazione che mantiene le proporzioni.

Es. omotetia + traslazione       x = kx + q

Es. non affinità:       x' - cosx       perché non mantiene le proporzioni.

Il piano

Ordinata

Ascissa

(x') ⎧ cos θx + sin θy
y' ⎪ -sin θx + cos θy

(x') ⎨ cos θx + sin θy
y' ⎪ sin θx + cos θy

Rotazione di angolo θ

θ ∈ [0; 2π]

Rotazione di angolo θ

Affinità

{   x' = ax + by + c
y' = dx + ey + f

Condizione fondamentale ae - bd ≠ 0

Distanza

Th. Pitagora

A₁  (x₁, y₁)

A₂  (x₂, y₂)

A₁A₂ = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + …(z₂ - z₁)²

Media

Th. Talete

X_M = ^{X₁ + X₂} /₂

Y_M = ^{Y₁ + Y₂} /₂

Vettori

Spostamento di A₁ ad A₂

A₁ (x₁, y₁)

A₂ (x₂, y₂)

A₁A₂ ⎛ ^{x₂ - x₁} ⎞
⎜ ^{y₂ - y₁} ⎟

Geometria

0 ≤ k < 1 k > 1

• Omotetia = contrazione o dilatazione
• Riflessione k < 0
• Traslazione

Corrispondenza biunivoca = non fa perdere informazione e mantiene le proporzioni.

Affinità = trasformazione che mantiene le proporzioni.

Es. omotetia + traslazione x = kx + q

Es. non affinità x' = cosx perché non mantiene le proporzioni.

Il piano

Rotazione di angolo θ

θ ∈ [0, 2π]

Rotazione di angolo θ

Affinità

{ x' = ax + by + c   y' = dx + ey + f

Condizione fondamentale ae - bd ≠ 0

Distanza

Th. Pitagora

A₁ (x₁, y₁) A₂ (x₂, y₂)

Indica sqrt((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

Media

Th. Talete

X_M = (x₁ + x₂)/2

Y_M = (y₁ + y₂)/2

Vettori

Spostamento di A₁ ad A₂ ➔ (x₂ - x₁, y₂ - y₁)

Spostamento obliquo

A₁ (a_x + b_y + c, dx₁ + ey₁ + f)

A₂ (a_x + b_y + c, dx₂ + ey₂ + f)

A₁A₂ (2° componente - 1° componente)

A₁A₂ = _. spost. obliquo

Proprietà delle trasformazioni lineari

Φ (u+v) = Φ (u) + Φ (v)

Φ (λu) = λ Φ (u)

Eq. retta nel piano

Può definirsi basato su due punti distinti o un punto e un vettore.

Definizione con due punti

Defin. due paio A (x_A y_A) B (x_B y_B)

Ricavo la retta.

(x_B - x_A) (y - y_A) = (y_B - y_A) (x - x_A)

Dato un punto e un vettore

Dato un pto e un vettore A (x_A y_A) v (^α/_β)

Ricavo la retta { x = x_A + αt
y = y_A + βt

Ricavo eq. cartesiana.

t = x - x_A/_α

t = y - y_A/_β

⇒ ax + by + c = 0

Eq. parametriche

[ X ] = [ x_A ] + t [ α ]
[ Y ]    [ y_A ] _{[ β ]}

I [ x ] = [ x₀ ] + t [ - β ]
_{[ y ]    [ y0 ]       [ α ]}

Eq. cartesiana

ax + by + c = 0

-bx + ay + c = 0

c e b invertiti e a' cambiato di segno

Vettori

U + v vettore

λU vettore

U · V scalare → se U⊥V U · V = 0

Direzione Verso Norma (Modulo)

Versori     j_y(ordinata)     i_x(ascissa)

Se |U| = 1 U è versore.

i e j sono versori di norma 1.

Linearmente indipendenti se n vettori n gradi di libertà.

Linearmente dipendenti se uno si scrive in funzione degli altri.

Prodotto scalare

U·V = |U|·|V|·cos α(U∧V)