Geometria I

Gruppi, anelli, campi e domini

Gruppo rispetto a ⊕

(A, ⊕) è un gruppo rispetto a ⊕ se ∀ a, b, c ∈ A

• Chiusura: ∀ a, b ∈ A a ⊕ b ∈ A (⊕ è interna ad A)
• Associatività: ∀ a, b, c ∈ A (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) (Prop. associativa)
• Elemento neutro: ∃ 0 ∈ A a ⊕ 0 = a = 0 ⊕ a (Esistenza elem. neutro)
• Inverso: ∀ a ∈ A ∃ ⱼ ∈ A a ⊕ a̅ = 0 = a̅ ⊕ a (Esistenza inverso)

Gruppo commutativo o abeliano

(A, ⊕) è un gruppo commutativo o abeliano rispetto a ⊕ se

• Gruppo: A è un gruppo
• Commutatività: ∀ a, b ∈ A a ⊕ b = b ⊕ a (Prop. commutativa)

Anello

A è un anello (A, ⊕, ⊗) se ∀ a, b, c ∈ A

• Gruppo: A è un gruppo rispetto a ⊕
• Associatività: (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) (Prop. associativa)
• Distributività: a ⊗ (b ⊕ c) = a ⊗ b ⊕ a ⊗ c (Prop. distributiva)
• Distributività: (b + c) ⊗ a = b ⊗ a + c ⊗ a

Anello commutativo

A è un anello commutativo (A, ⊕, ⊗) se ∀ a, b ∈ A

• Commutatività: a ⊗ b = b ⊗ a (Prop. commutativa)

Anello con unità

A è un anello con unità (A, ⊕, ⊗) se ∀ a ∈ A

• Elemento neutro: ∃ 1 ∈ A a ⊗ 1 = 1 ⊗ a = a (El. neutro)

Campo

A è un campo (A, ⊕, ⊗) se è un anello e se

• Gruppo commutativo: (A, ⊕) è un gruppo commutativo
• Gruppo commutativo: (A*, ⊗) è un gruppo commutativo
• Distributività: a ⊗ (b + c) = a ⊗ b + a ⊗ c (Prop. distributiva)
• Insieme: con A* = A \ {0} se uno è "1" unità se esiste

Dominio

A è un dominio (o intero) (A, ⊕, ⊗) se

• Anello: A è un anello commutativo con unità
• Divisori dello 0: A è privo di divisore dello 0 (∄dea t.c. ∀ b ∈ A, b ≠ 0, ∃ deo dob = 0 ∨ b ⊗ 1 = 0)

P.S. dominio → campo

Definizioni con simbolo ⊙

Gruppo rispetto a ⊕

(A, ⊕) è un gruppo rispetto a ⊕ se ∀ a, b, c ∈ A

• Chiusura: ∀ a, b ∈ A a ⊕ b ∈ A (⊕ è interna ad A)
• Associatività: ∀ a, b, c ∈ A (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) (prop. associativa)
• Elemento neutro: ∃ θ ∈ A θ ⊕ a = a ⊕ θ = a (esistenza elem. neutro)
• Inverso: ∀ a ∈ A ∃ a̅ ∈ A a ⊕ a̅ = a̅ ⊕ a = (esistenza inverso)

Gruppo commutativo o abeliano rispetto a ⊕

(A, ⊕) è un gruppo commutativo o abeliano rispetto a ⊕ se

• Gruppo: A è un gruppo
• Commutatività: ∀ a, b ∈ A a ⊕ b = b ⊕ a (prop. commutativa)

Anello con ⊙

A è un anello (A, ⊕, ⊙) se ∀ a, b, c ∈ A

• Gruppo: A è un gruppo rispetto a ⊕
• Associatività: (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c) (prop. associativa)
• Distributività: a ⊙ (b ⊕ c) = a ⊙ b ⊕ a ⊙ c \ (prop. distributiva Dx e Sx)
• Distributività: (b ⊕ c) ⊙ a = b ⊙ a ⊕ c ⊙ a

Anello commutativo con ⊙

A è un anello commutativo (A, ⊕, ⊙) se ∀ a, b ∈ A

• Commutatività: a ⊙ b = b ⊙ a (prop. commutativa)

Anello con unità con ⊙

A è un anello con unità (A, ⊕, ⊙) se ∀ a ∈ A

• Elemento neutro: ∃ 1 ∈ A a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a (el. neutro)

Campo con ⊙

A è un campo (A, ⊕, ⊙) se è un ordine e se

• Gruppo commutativo: (A, ⊕) è un gruppo commutativo
• Gruppo commutativo: (A\{0}, ⊙) è un gruppo commutativo con A* = { Δ-{θ} con a ⊙ (b ⊕ c) = a ⊙ b ⊕ a ⊙ c (prop. distributiva)
• Zero e unità: 0 = zero se usio e "1" unità se area

Dominio di integrità

A è un dominio (di integrità) (A, ⊕, ⊙) se

• Anello: A è un anello commutativo con unità
• Divisori dello 0: A è privo di divisori dello 0 (7 dea t.c. ť a, b ∈ A, b ⊙ a = θ deado ⊙ b = 0 v b ⊙ a = 0)

P.S.: Dominio => Campo

Sottostrutture

Sottogruppo

Dato H ⊆ G con H ≠ ∅ e (G, +) gruppo

H_g è un sottogruppo di (G, +) se

• Chiusura: ∀ a, b ∈ H a ⊕ b ∈ H (⊕ e − interno)
• Gruppo: H è un gruppo (H, ⊕)

Sottocampo

Dato H ⊆ K con H ≠ ∅ e (K, +, ∘) campo

H_K è un sottocampo di (K, +, ∘) se

• Chiusura: ∀ a, b ∈ H a ⊕ b ∈ H ∧ a ∘ b ∈ H (⊕ e ∘ sono interni)
• Campo: H è un campo (H, +, ∘)

Sottanello

Dato H ⊆ A con H ≠ ∅ e (A, +, ∘) anello

H_AR è un sottanello di (A, +, ∘) se

• Anello: H è un anello (H, +, ∘)
• Chiusura: ∀ a, b ∈ H a ⊕ b ∈ H ∧ a ∘ b ∈ H (⊕ e ∘ sono interni)

Dominio euclideo e norma

A è un dominio euclideo se esiste una funzione, detta norma

α: A* → ℕ con le seguenti proprietà

• Norma: α(ab) ≥ α(a) ∀ a, b ∈ A con a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
• Divisione: ∀ a, b ∈ A con b ≠ 0 ∃ q, r ∈ A t.c. a = q ∘ b + r e r = 0
• Resto: α(r) < α(b)

Esempio (ℤ, +, ∘) α = |.|

• Norma: |ab| ≥ |a| ∀ a, b ∈ ℤ
• Divisione: a = q ∘ b + r e r = 0 ∨ 0 ≤ |r| < |b| norma

Spazio vettoriale

(V, +, ∘) è uno spazio vettoriale sopra (K, +, ∘) campo se (V, +) è gruppo commutativo

È data un'operazione esterna ∘: K × V → V

(k, n) ↦ k ∘ n tale che

• Somma scalare: (k + k') ∘ n = k ∘ n ⊕ k' ∘ n falso dev.
• Somma vettoriale: k ∘ (n ⊕ n') = k ∘ n ⊕ k ∘ n' falso dev. ∀ k ∈ K ∀ n, n' ∈ V
• Prodotto scalare: kk' ∘ n = k ∘ [k' ∘ n] → no → falso pos.
• Unità: −1_K ∘ n = n

Proprietà di un gruppo

Proprietà di un gruppo

a, b, c ∈ G

• Inverso della potenza: (aⁿ)^-1 = a^-n
• Inverso del prodotto: (a ∘ b)^-1 = b^-1 ∘ a^-1
• Cancellazione: a ∘ b = a ∘ c ⟹ b = c (legge di cancellazione)
• Soluzioni: a ∘ x = b e y ∘ a = b hanno una sola soluzione in G
• Quozienti: ∀ x, y ∈ G t.c. x ∘ a = b ∧ y ∘ a = b₀^-1 (assioma di quozienti)

Condizioni necessarie o s