Geometria Flattened

Inversa:

• Mat a blocchi
• Mat invertibile

A^-1 → ∃ A^-1 : AA^-1 = I

Mat quadrata : det A ≠ 0 &rarr~; C = A^-1 righe ↔ colonne

Inv.condition

A^-1 det A = det I &rarr~; A^-1C = X↓A^-1⇨ A^-1 ↓ B &rarr~;\(C=\begin{bmatrix}I&0\\ 0&I\end{bmatrix} \)&rarr~; B &rarr~; A&rarr~; detA ≠ 0

C = con \(^\\darr;\) B^-1BC = I &rarr~; B = A_c⇨ A^-1B…Utilizzo → K parenti

Proprietà:

Invertibile(A^-1)^-1 = AA^-1(Aᵀ) = (A^-1)ᵀ &rarr~; B^-1 = (B_1…k)

Triangolare invt→n°

4) Metodi:

• Sistema a blocchi
• Gauss, Jordan

A = A (A, I)aggiuntoA(agg A)=det AA_c=(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix})

Inversa

Mat a blocchi = modo di risolvere prod righe x colonne

Inv (A) invertibile A^-1 invert. (A^-1)^-1 = A (A^T)^-1 = (A^-1)^T

Colonne ind = gemmata base

Base = A^-1*BDQ del PDF = se apparenta

DSO = se appareta inverse x col

4) Metodi:

• Sistema a blocchi
• Gauss Jordan
• Aggiunta (CRAMER)
• Cayley-Hamilton

La inversa: Se cerco pol(A) = 0

• P1(A)
• P2(A)

Matr simili:

ABC msm 3 matr. P t AP = B A sim.\B - det A = det B a = eig(A) C polin ccn B - ssv ortonorm rango AB \'app egesseanum stesso eudo madi\simo.

Congruenti:

A congr = B.c B^TAB

Conjugate

c - C B^* AB

Matr ortogonali:

A^tA = 1 Colonna: base ortonormale L_AA^* = App line (Omomorfismo) A : e_i = A^-1

Proprietà: <0(x),0(y) D(f+g) Prati cmpre forma Lineare Dem x Isomorfismi con Σ ≠ INJ LIN mono trasorobre x

Basi: β…β₂ e α…α_n {x_i} Generano IMG Rono comn det dei vaiori che assume une una unase.

Immatrice = e_i Invesibile = H_0,0 (ξ) e inmatrice

Art linest qsi X _{spesr sou con o matrex} Σ₁ ⊗ (1

Del prodotto imvretorolie S_mcS_s = x=a

Simili↔ le mait assoeiata mamo stigesso fg

Prod ragh x col = ommozione dei fuse 淮 Inieziva Ve uterore xImallo po trasmere DF e IND eSutura ot e susrETTIVA Na di uno critti ou fuuevem xgreenom Inlere wK (KX=0) Kds acclurn

V: Wol amor ormene eomme o sumo=(dedd o amtnesione)

SA B Mat : A'X + ⊗ X = K

Def: a nnoUS V = VO e mto aoasjck H_0,0

BB: ofL_nM_g H_0,0 simale e H_0bb,0H_bbc*Soghado poafeuvse ho foechto ofewress*

Nucleo

Ker(f) = {y ∈ V: Σ a_i(u)ⁱ = 0 w} ⊆ v null(f)

SpSolutions of A x = 0 -> Ker(A) = { x(ξ) ∈ ℝⁿ : Σ a_ij ξ_j = 0 }

Calcolare Base del Ker

Trovo RREF = vec... Trovo δ sistema R x → solo vettori esterni

Soluzioni Base di Ker R → ad ogni variabile indipendente x_i

Assegn x_i ad espressione di x_j = Σ i a_i2 b_ij ... x_n+1 ≠ 0 mg(R)

Ponendo x₂ ...version b ... → soluzioni base di Ker R = formano BASE del Ker(R)

Immagine

Im f = {z ∈ W : Σ λ_j w_j} = span{z_j}

Ssp W

Spazio Soluzioni B di A x = B

Col(A) = dim(Im(A)) = rg(A)

dim Im=r=rg in col LINDr=ciLIND = r=numero LIND

Calcolare rg(f) = base Im(f) ℝ ^m = ℝ̅ v-w∃) Matrice B₂ = B₁: B₂₁ p_{n - 1} w ...((manca cine) espressione di vec base3) rg(f) = pivot nel dommain, dove k=dim ...rg = r

Proiezione ortogonale

pr_v-w = proiezione su lunga anche se vecnon