Geometria e combinatoria, Matrici, proprietà, operazioni e trasposizione

Matrici

Consideriamo una matrice A(m;n) con m righe ed n colonne, ovvero di tipo m×n. Indica un coefficiente generico nella i riga e j colonna:

Esempio: scrivere una matrice A(2;3) = (a_ij = 2i - j).

a₁₁ = 2×1 - 1 = 1
a₁₂ = 2×1 - 2 = 0
a₁₃ = 2×1 - 3 = -1

a₂₁ = 2×2 - 1 = 3
a₂₂ = 2×2 - 2 = 2
a₂₃ = 2×2 - 3 = 1

Fissato il fattore m e il fattore n, si definisce il seguente insieme:

M(m;n;) = insieme di tutte le matrici reali del tipo m×n; infiniti elementi

E anche M(m;n;) = numeri interi positivi e M(m;n;) = frazioni.

Aggiunta tra matrici dello stesso tipo

A(m;n) = a_ij   B(m;n) = b_ij

Si definisce una seguente matrice somma.

A+B := (a_ij + b_ij) di tipo (m×n).

Esempio: per questo concetto introduce le tabelle di matrici.

Matrici

Consideriamo una matrice A(m;n) con m righe ed n colonne, ovvero di tipo m×n.

= a_ij, dove (a_ij) indica un coefficiente generico nella i riga e j colonna ∈ ℜ_i = 1, 2, 3 ... m   _j = 1, 2, 3 ... n.

Esempio: scrivere una matrice A_(2;3) = (a_ij = 2i - j).

a₁₁ = 2×1 - 1 = 1
a₁₂ = 2(1) - 2 = 0
a₁₃ = 2(1) - 3 = -1
a₂₁ = 2(2) - 1 = 3
a₂₂ = 2(2) - 2 = 2
a₂₃ = 2(2) - 3 = 1

Fissato il fattore m e il fattore n, si definisce il seguente insieme:

ℳ(m;n;ℜ) = insieme di tutte le matrici reali di tipo m×n; ∞ elementi.

E anche ℳ(m;n;ℕ) = numeri interi positivi e ℳ(m;n;ℚ) = frazioni.

Addizione tra matrici dello stesso tipo

A_(m;n) = a_ij   B_(m;n) = b_ij.

Si definisce una seguente matrice somma.

A + B := (a_ij + b_ij) di tipo (m×n).

Esempio: per A_(3;2) =

B_(3;2) =

A + B =

A + B :=

Questo concetto introduce le tabelle di matrici.

Proprietà fondamentali dell'addizione tra matrici

• Associativa: ∀ A, B, C ∈ ℳ(m,n) → (A+B)+C = A+ (B+C). Ottengo matrice equivalente.
• Esistenza dell'elemento neutro: esiste la matrice nulla O_(m,n) = (0 0 ... 0) (0 0 ... 0) tale che aggiunta a qualsiasi altra matrice, non cambia nulla.
• Esistenza dell'elemento opposto: esiste per ogni matrice A con elementi generici a_ij la matrice opposta -A_(m,n) := (-a_ij) tale che quando sommiamo A + (-A) = 0.
• Commutativa: ∀ A, B, C ∈ ℳ(m,n): A + B = B + A.

L'insieme (ℳ(m,n)) è un gruppo additivo commutativo.

Moltiplicazione di matrici per un numero scalare

Siano A_(m,n) = a_ij ∈ ℂ e r ∈ ℝ: si definisce il loro prodotto e la matrice (r⋅A)_(m,n) := (r⋅a_ij).

Esempio: A =

C = 4.

4⋅A_(3,2) =

→ 4A_(3,2) =

Proprietà fondamentali generali

• Associativa, moltiplicazione matrice scalare: ∀ C, d ∈ ℝ ∀ A_(m,n) : (c⋅d)⋅A oppure (c⋅d)⋅A.
• Distributiva rispetto alla addizione: ∀ C ∈ ℝ ∀ A, B ∈ ℳ(m,n) : c⋅(A+B) = (C⋅A) + (C⋅B).
• Distributiva rispetto alla addizione tra scalari: ∀ C, d ∈ ℝ ∀ A_(m,n) : (C+d)⋅A = (A⋅C) + (A⋅d).
• Esistenza elemento neutro 1 rispetto la moltiplicazione tra scalari: ∀ A_(m,n) : 1 ⋅ A = A.