Geometria e algebra lineare - Esercizi svolti e spiegati

Foglio 1

es1

Scrivere il sottospazio nella forma ₁(V₁...V_n)

W = { (x,y,z,t) ∈ ℝ⁴ |

x + y + z = 0

z = t

{ y = -2x - t

z = t }

(x, -2x + t, t, t) = { x (1, -2, 0, 0) + t (0, 1, 1, 1)

L (V₁, V₂) }

es2

Data V₁(1, -2) e V₂(3, -⅔) dire se { V₁, V₂ } è una base di ℝ²

• ( 1 -2 |
• 3 -⅔ ) ⟶ ( 1 -2 |
• 0 ⅔ )

rk = 2 Sono linearmente indipendenti e siccome sono 2 vettori lin. ind. in ℝ² generano una base

Dato w = (r, k) per quali k { V₁, V₂ } è una base di ℝ²

• ( r -2 |
• k ) ⟶ ( 1 -2 |
• 0 k + 2r )

Quando rk ≠ 2 è una base⇒ k + 2r ≠ 0k ≠ -2r

Coordinate di V (14, -7) rispetto alla base {V₁, V₂}a (V₁) + b (V₂) = (x, y)a (1, -2) + b (3, -⅔) = (14, -7)2a + 3b = 14-2a - b ₃ = -7a = 14 - 3b22a + 6b = -7 ... a = 64 ₁₆, b = 45₁₆ ⇒ V ( 64₁₆ , 45₁₆)

es3

W₁ = { (x, y, z) ∈ ℝ³ | 2x + y - 3z = 0 }

W₂ = { (x, y, z) ∈ ℝ³ | x - y + 2z = 0 }

trovare la dimensione di W₁ ∩ W₂2x + y - 3z = 0x - y + 2z = 0 ⟶2x = 3xy = 7x

L ((1, 7, 3)) 1 dim (Re_tta)

es5

Data due vettori V₁ e V₂ trovare uno che completi il sottospazio vettoriale ad una base di ℝ³

Verificare se V₁ e V₂ sono linearmente indipendenti e poi trovare un terzo lin. ind.

Geometria

Foglio 1

es1

• Scrivere i sottospazi nella forma L(v₁...v_n)

W: {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴ | { x+y+z=0 z=t }}{ y=-2x-t z=t }}

({x,-2x+t,t,t}) = {x (1,-2,0,0) + t (0,1,1,1)} L(v₁,v₂)

es2

• Data v₁(1,-2) e v₂(3,-⅔) dire se {v₁,v₂} è una base di ℝ²

( ¹⁄₃ ^-2⁄_-⅔ ) → ( ¹⁄₀ ^-2⁄_1⅓ )rk=2 sono linearmente indipendenti

• Dato ω=(⊥, k) per quali k {v₁, ω} è una base di ℝ²

( ¹⁄_-2 ^-⁄_k ) → ( ¹⁄_-2 ^-⁄_k ) (quando rk=2 è una base)→ k+2≠0 → k≠-2

• Coordinate di V(14,-7) rispetto alla base {v₁,v₂}

a(v₁)+b(v₂)=(x,y) a(1,-2)+b(3,-⅔)=(14,-7) { 2+3b=14 -2a+⁄b⁄3}=-7a=14-3b -2(14-3b)+6b=-7 …

a= 14/16 b= 45/16 V((¹⁴⁄₁₆, ⁴⁵⁄₁₆))

es3

W₁ = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | 2x+y-3z=0 }W₂ = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | x-y+2z=0 }

• Trovare un'espressione di W₁ ∩ W₂

{ 2x+y-3z=0 x-y+2z=0 } …{ 2=3x y=7x }(x, 7x, 3x)

L (((1,7,3)) ) 1 dim (Retta)

es5

• dati due vettori v₁,v₂ found che completi il sottospazio vettoriale a una base di ℝ³

• Gùardare se v₁,v₂ sono lineard & per I found un terzo per lin. ind.

e57

W₁ = {(x, y, z, t) | x = y + z}

W₂ = {(x, y, z, t) | y = x - 2t}

• x = y + z
• y = x - 2t

Trovare la dim di W₁ ∩ W₂

• Trovare una base di ℝ⁴ {V₄, V₃, V₅} tale che {V₄, V₂} base di W₁ ∩ W₂
• V₃ ∈ W₁ → (y + z, y, z, t)
• V₅ ∈ W₂ → (x, x - 2t, z, t)

e58

Provare che l'insieme formato da

• V₁ (1, 1, 0)
• V₂ (0, 1, 1)
• V₃ (1, 0, 1)

è un Base in ℝ³

Matrice a scala → lin. ind.

• Trovare coordinate di V_k (1, 0, 0) rispetto alla base
• a(1, 1, 0) + b(0, 1, 1) + c(1, 0, 1) = (1, 0, 0)

e59

W = L{(1, 0, 0); (1, -1, 1)}

Z = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x + z = 0}