Geometria e algebra lineare

Proprietà matrici trasposte

• 1. (A^T)^T = A
• 2. A simmetrica <=> A = A^T
• 3. A antisimmetrica <=> A = -A^T
• 4. I = I^T
• 5. (A + B)^T = A^T + B^T
• 6. (k·A)^T = k·A^T
• 7. (A·B)^T = B^T·A^T

Proprietà prodotto per scalare

∀h,k ∈ ℝ e ∀A,B ∈ M_m,m:

• h·(k·A) = (h·k)·A associativa
• (h + k)·A = h·A + k·A distributiva per la somma di scalari
• h·(A + B) = h·A + h·B distributiva per la somma di matrici

Proprietà matrici inverse

• A invertibile => (A^-1)^-1 = A
• A invertibile => (A^T)^-1 = (A^-1)^T
• A,B invertibile => (A·B)^-1 = B^-1·A^-1
• I_m^-1 = I_m

Determinante proprietà

• |A| = |A^T|
• |A·B| = |A|·|B|
• |A| ≠ 0 => |A^-1| = 1/|A|

Se |A| ≠ 0 allora A è invertibile e A^-1 = A^T/|A|

Proprietà matrici trasposte

• (A^T)^T = A
• A simmetrica <=> A = A^T
• A antisimmetrica <=> A = -A^T
• I = I^T
• (A + B)^T = A^T + B^T
• (k · A)^T = k · A^T
• (A · B)^T = B^T · A^T

Proprietà prodotto per scalare

∀h, k ∈ ℝ e ∀A, B ∈ M_m,m:

• h · (k · A) = (h · k) · A associativa
• (h + k) · A = h · A + k · A distributiva per la somma di scalari
• h · (A + B) = h · A + h · B distributiva per la somma di matrici

Proprietà matrici inverse

• A invertibile => (A^-1)^-1 = A
• A invertibile => (A^T)^-1 = (A^-1)^T
• A, B invertibile => (A · B)^-1 = B^-1 · A^-1
• I_m^-1 = I_m

Determinante proprietà

• |A| = |A^T|
• |A · B| = |A| · |B|
• |A| ≠ 0 => |A^-1| = 1/(|A|)
• Se |A| ≠ 0 allora A è invertibile e A^-1 = A^T/|A|

Proprietà matrici ortogonali

A, B ortogonali =>

• |A| = ±1
• A^T ort
• A^-1 ort
• A . B ort

A ortogonale se

• La somma dei quadrati di una riga (colonna) = 1
• La somma dei prodotti delle righe (colonne) a due a due sia 0

Proprietà rango

• rk(O) = 0
• rk(I_m) = m
• rk(A) = rk(A^T)
• rk(A) = rk(A^-1)
• rk(A . B) ≤ rk(A) ∧ rk(B)
• Il rango di una matrice non cambia se viene moltiplicata a destra e a sinistra per una matrice non singolare

Sistema lineare

Ogni sistema del tipo di m equazioni in m incognite a₁₁, ..., a_mn si dicono coefficienti del sistema x₁, ..., x_m sono incognite e b₁, ..., b_n sono i termini noti.

Vengono associate due matrici: A = e A' = e dunque ogni sistema può essere scritto come A · X = B.

Un sistema compatibile se ammette soluzioni si dice incompatibile se non ammette soluzione.

È determinato se ammette una soluzione, indeterminato se non ammette infinite soluzioni. È omogeneo se i termini noti sono tutti uguali a zero.

Teorema di Rouché-Capelli

Se A · X = B è un sistema di m equazioni in m incognite allora:

• Se rk(A) = rk(A') = r_c il sistema ammette ∞^m-r soluzioni
• Se rk(A) < rk(A') il sistema è incompatibile
• E come incognite ausiliarie le rimanenti

Sistema di Cramer

A · X = B è un sistema di Cramer se m = n esiste det(A) ≠ 0 e allora la sua soluzione è data da X_i = , ∀i ∈ 1, ..., n

Spazio vettoriale

Se K è un campo, V un insieme non vuoto dotato di un'operazione interna "+" e un'operazione esterna "⋅" avente K come dominio degli operatori allora V(+,⋅) è uno spazio vettoriale se rispetta 8 proprietà di spazio vettoriale.

Sottospazio vettoriale

Affinché W⊆V sia un sottospazio vettoriale deve rispettare tre proprietà:

• W ≠ ∅
• ∀ w₁,w₂ ∈ W → w₁+w₂ ∈ W
• ∀ k ∈ K, ∀ w ∈ W : k⋅w ∈ W

Combinazi