Corso completo di Algebra

Corso completo di algebra

Martedì 27 settembre 2022 18:40

Insiemi

Collezione di oggetti determinati dalla proprietà di appartenenza. Gli insiemi si definiscono con le lettere maiuscole dell'alfabeto. Insieme vuoto: , sottinsieme di qualsiasi insieme.

Gli insiemi possono essere definiti attraverso le operazioni insiemistiche:

• A B unione con elementi che si trovano o in A o in B
• A B intersezione con elementi che appartengono sia in A che in B, sottinsieme di A e B
• AxB prodotto cartesiano = Coppie ordinate (l'oggetto cambia al variare della disposizione della coppia)

xA=n volte n-uple

Insiemi numerici

Cardinalità: numero degli oggetti presenti in un insieme

• R numeri reali
• N (3) numeri naturali
• Z=(0,1,-1,2,-2,3,-3) numeri interi
• C: numeri complessi, algebricamente chiusi (0 3)
• Q numeri razionali

Unità immaginaria

Classi di equivalenza

Molteplici modi per rappresentare un numero. Somma in Q: Prodotto in Q: Operazione binaria: funzione (legge che fa corrispondere a un oggetto del primo insieme uno e un solo oggetto del secondo insieme) che agisce su due oggetti, algebricamente chiusa restituisce un elemento dell'insieme. L'insieme diventa struttura algebrica quando è strutturato come un'operazione binaria.

Somma e prodotto operazione associativa sugli interi, non importa l'ordine. Elemento neutro, indifferente all'operazione: 0 per la somma, 1 per il prodotto.

Simmetrico combinato allo stesso restituisce l'elemento neutro (per la somma è l'opposto e per il prodotto l'inverso). 1 e -1 unici che hanno simmetrico nei numeri interi.

Gruppo

Struttura algebrica con:

• Operazione binaria associativa
• Esiste elemento neutro
• Esiste simmetrico per ogni elemento

Il gruppo si dice abeliano se l'operazione binaria è anche commutativa. Sono gruppi abeliani: Z+, Q+, R+, R-[0]. Non sono gruppi N+, Z.

Anelli

Insiemi strutturati con 2 operazioni:

• A insieme + somma x prodotto

(A,+,x) è detto anello se:

• (A,+) è un gruppo abeliano
• (A,x) è un semigruppo (associativa)

Deve valere inoltre la proprietà distributiva: a x (b+c) = (a x b) + (a x c). Può non valere la legge dell'annullamento del prodotto.

Campo

1. (A,+) è un gruppo abeliano
2. (A-[0], x) è un gruppo abeliano
3. Proprietà distributiva

Esempi: (Z,+, ) anello (Q,+, ), (R,+, ) campi.

R[x] polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali. R[x]= 0f f= 0g g= 0f+g=( 0 0(R[x],+) gruppo abeliano f g= 0 Nuova sezione 3 Pagina 1f g= 0(R[x],+, ) anello dei polinomi.

[x] polinomi di R[x] con massimo grado 33.

Vettori

Vettori ordinari

B A BA

• Direzione: retta AB
• Verso: da A a B
• Modulo: lunghezza del segmento

Vettori liberi: sono classi di equivalenza costituite da vettori equipollenti (stessa direzione, verso e modulo) di un vettore dato.

Somma vettori

1. Vettori hanno la stessa direzione A B C DE FE F=AB+CD Ha la stessa direzione e verso quindi il modulo è la somma BA CDF E
2. Nel caso in cui CD e AB hanno versi discordi allora il risultato ha la direzione AB(CD), il verso del vettore con modulo maggiore e modulo pari alladifferenza dei moduli (in valore assoluto)
3. Vettori non aventi la stessa direzione B C DA B Risultante DA= C

L'operazione di somma tra vettori è:

• Associativa
• Il vettore nullo è l'elemento neutro
• Ogni vettore ha un suo opposto (il vettore avente verso opposto)
• Commutativa, è un gruppo abeliano

Prodotto esterno

È il prodotto di un numero (scalare) con un vettore B k=2 2ABAkv

1. Ha la stessa direzione di v
2. Ha verso concorde se k>0, discorde se k<0
3. Modulo pari a

R(0;x,y,z) Sistema di riferimento cartesiano ortogonale (90°). Questi assi si sovrappongono secondo una rotazione levogira ovvero in senso antiorario. z i,j,k sono i versori degli assi coordinanti e hanno modulo 1, verso concorde a quello degli assi.

Somma vettoriale

OP+OQ=(xpi+ypj+zpk)+(xqi+yqj+zqk)=(xp+xq)i+(yp+yq)j+(zp+zq)k

P(xp,yp,zp) Q(xq,yq,zq)

Prodotto scalare

Dati due vettori il prodotto scalare ci restituisce un numero (scalare) v,w due vettori.
v x w = inv = vxi+vyj+vzk Modulo riferito al prodotto scalare w=wxi+wyj+wzk

v x v =v x w = vxwx i x j + vxwy i x j + vxwz i x k + vywx j x i + vywy j x j + vywz j x k + vzwx k x i + vzwy k x j + vzwz k x k = vxwx + vywy + vzwz i x i = 1 j x j = 1 k x k = 1 i x j = j x i = 0 j x k = k x j = 0 i x k = k x i = 0

Prodotto vettoriale

Direzione ortogonale a v e w verso regola mano destra. Coerente con gli assi. Si vede che: i i =0 j j=k k=0 i j=k j k=i k i=jj i=-k k j=-i i k=-j

Il prodotto vettoriale è anticommutativo. No associativa. v w = (vxi+vyj+vzk) (wxi+wyj+wzk) = vxwx i i + vxwy i j + vxwz i k + vywx j i + vywy j j + vywz j k + vzwx k i + vzwy k j + vzwz k k = (vywz-vzwy)i+(vzwx-vxwz)j+(vxwy-vywx)k

Significato geometrico: area parallelogramma A= h= enh= en en = Prodotto massimizzato quando i due vettori sono ortogonali

Esempio v=2i-j-k vx=2 vy=-1 vz=-1 w=i +3k wx=1 wy=0 wz=3 =u= i- k =1 v+w=3i-j+2k v-w=v+(-w)=i-j-4k 3v=6i-3i-3k v x w= 2 1+(-1)0+(-1)3=-1 v w= =-3i-7j+k

Nuova sezione 3 Pagina 3 v w= =-3i-7j+k i (j j)=0 l'operazione non è associativa (i j) j=-i

Prodotto misto

Combinazione tra prodotto scalare e vettoriale. Risultato un numero u,v,wu x (v w)=ux +uy +uzux(vywz-vzwy)+uy(vzwx-vxwz)+uz(vxwy-vywx)

Significato geometrico: volume parallelogramma V=Ab hh= w= =VAb

Spazi vettoriali

Insieme non vuoto i cui elementi sono i vettori V≠0. V è un k( k,+, è un campo, campo degli scalari )spazio vettoriale se:

1. (V,+) gruppo abeliano
2. Prodotto esterno K x V V (valori in V) ( , v) v

2.1) =( ) v associatività mista 2.2) v=v 2.3) ( v= v V distributiva Somma nel campo Somma vettoriale 2.4) v+ w (somma prodotti esterni)

Esempi:

• Lo spazio dei vettori geometrici è uno spazio vettoriale
• R campo dei reali
• R è un R-spazio vettoriale = R x R = (,+) (a,b)+(a',b') = (a+ , b+ )' ' '
• 1 (a,b)+(a',b')+(a'',b'') è associativa
• 2 la coppia (0,0) è l'elemento neutro è vettore nullo 3 (a,b) -(a,b) = (-a,-b)
• 4 (a,b)+(a',b') = (a',b')+(a,b) ( ,+) è un gruppo abeliano 2 2R x R R( , (a,b) ) (a,b)= ( a, b) 2R è un R spazio vettoriale

nR come R-spazio vettoriale R R R ain volte R[x] polinomi in x a coefficienti reali f [x] f= 0 2 nf=a +a +a x a x0 1 2 n

f grado del monomio con potenza più alta e coefficiente non nullo f=a = a = a =-1 a =0 a =7 0 1 2 3 4 f=4 grado del polinomio a =0 i>4 i (R[x],+) gruppo abeliano f=a +a0 1 g=b +b0 1 f+g=(a +b )+(a +b )0 0 1 12 f= a + a x+ a x0 1 2 R[x] è un R-spazio vettoriale

Nuova sezione 3 Pagina 4 è un R-spazio vettoriale 1 c ,c1 2 c +c somma 1 2 ( ,+) gruppo abeliano 2 c =a +b i c =a +b i i =-11 1 1 2 2 2 c +c =(a +a )+(b +b )i1 2 1 2 1 22 prodotto esterno R x c( ,c)(a+ib) a+ bi è un R-spazio vettoriale e un C-spazio vettoriale Proprietà V spazio vettoriale 1 0 = 0 2 -1 = -v 3 0= 0 4 se 0 e =0 v=0

Dimostrazione

1. 0=0 0 v0000=0 0=004 0v= 0=00

Combinazioni lineari

V spazio vettoriale s S={v ,v v } è un sistema di vettori S V1 2 n,1 2 nv v v1 1+ 2 2+...+ n nv v v Sia v= 1 1+ 2 2+...+ n nv si dice dipendente da S={v ,v v }1 2 nv v v = v v= 1 1+ 2 2+...+ n n i Non tutti gli scalari sono nulli

Esempio3

V=R v v v1 2 3 S={(1,1,0),(0,1,-1),(1,1,1)}=1 =0 =41 2 31(1,1,0)+0(0,1,-1)+4(1,1,1)=(5,5,4)(5,5,4) dipende da S3 V=Rv =(1,0,1) v =(1,0,-2)1 2 S={v v }1, 2 v=(0,1,0) non è dipendente da S v= v v 0 0 ( 0, ) + ( ,0,-2 )1, 2 : 1 1+ 2 2 1, 1 2 2 v v v 1 1 2 2=( 0 -2 )1+ 2 1 20= 1+ 21=0 non ha soluzione 0= -21 2 V=R[x] x⁴ dipende da S? No S={1+x -2, x+x³} 1,=1 =-1 =-21 2 31(1+x)-1(-2)-2(x+x³)=3+(-1)x+0x²-2x³=3-x-2x³ dipende da S

Lineare dipendenza

Un sistema di vettori S={v ,v ,…,v } si dice linearmente dipendente se esiste 0 per qualche i tale che :

1 2 nv v v =01 1+ 2 2+...+ n n

Se invece

v v v =0 = = = =01 1+ 2 2+...+ n n 1 2 ... n

Allora S={v ,v ,…,v } si dirà linearmente indipendente (l'unica combinazione lineare nulla di S è quella banale, ovvero a coefficienti tutti1 2 n nulli).

Esempi:

V=R³ v =(1,0,-1)1 v =(-1,1,2)2 v =(1,1,0)3 v =2v +v 3 03 1 2 S={v ,v ,…,v } è linearmente dipendente1 2 3

Casi particolari di lineare dipendenza

Se v =0 per qualche i allora S è automaticamente dipendente senza perdita di generalità (wlog)1 v =010= v +0v +0v +…+0v1 2 3 n Nuova sezione 3 Pagina 50= v +0v +0v 0v1 2 3 n Due vettori proporzionali sono dipendenti v + v =01 2 Supponiamo che v e v sono dipendenti, allora e1 2 wlog e v sono proporzionali21 R[x]

Esempio:

V=R⁸ v3 v } sono dipendenti oppure no ?{ 3(1,1,0,-1) (2,0,1,1) (0,0,2,1) v +1 3 3( 3 3( 3 33- 33 L'unica soluzione è 3 Per cui v sono indipendenti3 V=R³ v3 v +1 3 3( + 3 3 3+ 3333 è arbitrario3 33 3 3 ottengo soluzioni non triviale Per 33- v332 v3 Caratterizzazione lineare dipendenza Sia S={ un sistema di vettori di V Allora S è dipendente se e solo se S e v dipende da S{v} hp S è dipendente ts S e v dipende da S{v} S è dipendente non tutti nulli e 0= v +1iwlogv =-1 Moltiplico per1 v =-1v =1 3 v dipende da , ,...,1 ) v S e v dipende da S{v} ts S è dipendente wlog v=v1tali che :v = v +1 2 3 3-v v + ovvero S è dipendente1 2 S={ L(S)={v v +...+1 L(S) di solito è chiamato SPAN dei vettori di S. Si dice anche che S genera L(S). Se L(S)=V allora i vettori di S si dicono generatori di V. (tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori dell'insieme)

Se S è finito allora V si dice fintamente generato (ammette un sistema di generatori)

Esempi:

V=R² S={(1,2),(0,1),(1,-1)} v2 3v R v a a R Nuova sezione 3 Pagina 6 v R v a a R v + +1 3 3(a,b)=( 3 3(a,b)= 3 R² =( 3 3a= 3b= 3a 3b= 3 3a 3a+3 3a a3 v + +1 3 3= a (1,2) +( b - 2a )(0,1)+0(1,-1)=(a,2a)+(0,b-2a)+(0,0)=(a,b) a=3 b=-(3,- v + +1 3 33 -2(1,2)+(-3,- -

Basi

Sia S un sistema di vettori di V. S è una base di V se:

1. S genera V
2. S è linearmente indipendente

Esempi:

V=V³ spazio vettori geometrici {i,j,k} è una base v=v i+v j+v k v =x y z xv =yv =z 30=(0,0,0)= 3 3e e1 2 R² {(1,0),(0,1)} base canonica (a,b)=a(1,0)+b(0,1) generatori (0,0)=a(1,0)+b(0,1) indipendenti a=0 e b=0 B={(1,1),(1,-1)} è una base di R² base canonica R⁹ C={e e e }1, 2,..., nei=(0,0,…,1,…,0)i-esima posizione 4R C={e e e ,e }1, 2, 3 4{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}

Teorema di caratterizzazione delle basi

Sia B={ un sistema di vettori di V. B è una base se e solo se vale una delle seguenti:

1. B è un sistema indipendente massimale
2. B è un sistema di generatori minimale

Dimostrazione:

2hp B base ts insieme minimale di generatori Per assurdo sia B un sistema di generatori non minimale.wlog sia B { un sistema di generatori. In particolare possono generare Ovvero -Quindi i vettori di B sono dipendenti in contraddizione con l'ipotesi di essere una base.) i tema i enerat ri minimalets B è una base Devo dimostrare che i vettori di B sono indipendenti Se i vettori di B non sono indipendenti allora dipendente da B-{v}.v=Sia v Poichè B genera V tali che :v=v=v=(v= 3 3B- genera VContraddizione per l'hp di minimalità.

Dimostriamo che B base B è un sistema di vettori linearmente indipendente massimale → ) hp: B è una basets: B lin.indip.max Devo dimostrare che B è un sistema di vettori lin. Dipendente, Poichè B genera V allora :v= v + +..+1 Nuova sezione 3 Pagina 7 v= v + +..+10= v + +..+1 Ovvero B è un sistema di vettori lin.dip.Quindi B è lin.indip.massimale → ) hp: B lin. indip. Maxts: B è una base Per hp B è un sistema di vettori lin.indip., per cui devo dimostrare che sono anche dei generatori. Per hp B è lin. Indip. massimale per cui v è un sistema di vettori dipend. quindi 1,v + +..+1 Sicuramente altrimenti se v + +..+ cioè avrei che i vettori di B sono dipendenti contro l'ipotesi.1 Allorav=(- v (-1+v= v1+..+

Poiché v è arbitrario allora i vettori di B generano V. Da cui la tesi.

Dimostrazione 3

B è una base <-> → ) hp: B basets:B è una base Supponiamo che la rappresentazione non sia unica v= v + +..+1 v=0=(sono una base e quindi indipendenti allora: i n Per cui le rappresentazioni coincidono ← → ) hp:ts: B è una base Dall'ipotesi B genera V. Dimostriamo che sono linearmente indipendenti. Considero il vettore 0v + +..+1 Con tale rappresentazione è unica per hp. Quindi B è una base

Basi e dimensione di uno spazio vettoriale

Una base di uno spazio vettoriale è un sistema ordinato di vettori B tale che :

1. B è linearmente indipendente
2. B genera l'intero spazio vettoriale

Uno spazio V si dice finitamente generato se V ammette un sistema finito di generatori.

Esempi:

R⁸ C={ e e e e }1, 2, 3, 4(1,0,0,0) v3 S={(1,-1,0,1),(1,1,0,-1),(0,0,1,0),(0,0,1,-1)} S è una base se :

1. S genera R⁸
2. S è linearmente indipendente

Proviamo la lineare dipendenza 0= v +1 3 3= ( + + 3+ + = 0 3 3

Proviamo che sono generatori 4v R v=(a,b,c,d)v= v +1 3 3+ + = c 3 3 =-b-d-b= b+c+d3 = -b-d soluzione generale=(a+b)/2 (a+b)/2=(2a-a-b)/2=(a-b)/2 v=(2,0,1,-1)=2e e e e1+ 2+ 3- 4 a=2 b=0 c=1 d=-1 v=1 Nuova sezione 3 Pagina 8 (V=fC={1,X,X²}B={x-1,x+1,x²-1}0== (-- I 3 polinomi sono lin.indip.B genera f=a+bX+cX² f=--b+f:3+x² a=3 f: ( 3,0,1) b=0 C=1 f=-2

f: -2(x-1)+2(x+1)+1(x²-1)=3+x²

Lemma di Steinitz

Sia B={ una base di V spazio vettoriale. Sia S={ w , w } un sistema di vettori di V.1 2 m Se m>n allora S è un sistema di vettori linearmente dipendenti.

Dimostrazione:

Se 0 S, allora S è dipendente. Allora posso supporre che 0 S. w 01 Poiché B è una base allora W v +1= 1 3 3 Per opportuni scalari di Sicuramente per qualche i. Wlog posso supporre .v w1= 1- S ={w1 1, 3 Voglio dimostrare che S genera V. 1 Sia v un generico vettore di V. Poiché B è una base :v=v= w1-= w 1+ Ovvero v è dipendente da S per cui S genera V. 1 1 Il passo successivo è di sostituire con Da S genera V posso generare 1 S ={2 3 Può essere 3 ? Se così fosse Da cui S è dipendente. Allora posso supporre Per qualche i =2,3,...,n. Wlog i=2. In questo modo 3 Con la stessa procedura posso dimostrare che: S ={2 3 È un sistema di generatori. Posso sostituire i vettori di S ai vettori di B fin quando i vettori di S sono indipendenti tar loro. Alla fine avrò ottenuto: È un sistema di generatori. Poiché m>n allora S avrà un vettore Ma genera V per cui è dipendente da Ovvero S è dipendente Nuova sezione 3 Pagina 9 Ovvero S è dipendente.

Teorema di equipotenza delle basi

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato.

Siano: B ={v v }1 1 n B ={w }2 1 m Due basi di V. Allora m=n.

Dimostrazione:

Usiamo il lemma di Steinitz due volte. Nel primo caso consideriamo B=B e S=B1 2 Allora per il lemma di Steinitz si ha che n≤m. Evidentemente m=n.

Dimensione di uno spazio vettoriale

È il numero di vettori che costituiscono una sua base.

Esempi:

• nR ha dimensione n.
• R [x] ha dimensione n+1.
• n3V ha dimensione 3.