Geometria algebrica

Elementi di Algebra e Notazioni

Def Categoria

Una categoria è individuata da:

• Ob(_C) una classe di oggetti
• ∀A, B ∈ Ob(_C) un insieme di morfismi Hom_C(A, B) che soddisfano
  • ∀A, B, C ∈ Ob(_C) una funzione composizione Hom_C(A, B) × Hom_C(B, C) → Hom_C(A, C)
  • (f, g) ↦ g ∘ f
  • associativa
  • ∀A ∈ Ob(_C) ∃ 1_A ∈ Hom_C(A, A) identità t.c.
  • ∀f ∈ Hom_C(A, B) ∀B ∈ Ob(_C) f ∘ 1_A = f e 1_B ∘ f = f

Def Sottocategoria

• D ⊆ C ⇔ Ob(D) ⊆ Ob(C) e Hom_D(A, B) ⊆ Hom_C(A, B) ∀A, B ∈ Ob(D)

Def

f : A → B morfismo in C

• f è monomorfismo ⇔ ∀u: C → A f ∘ u = g ∘ u ⇒ u = v
• f è epimorfismo ⇔ ∀v: B → C i ∘ f = i ∘ g ⇔ v = v
• f è isomorfismo ⇔ ∃ g: B → A: g ∘ f = 1_A e f ∘ g = 1_B

Esempi

• ENS Categoria degli insiemi
  • Oggetti = insiemi
  • Morfismi = applicazioni tra insiemi
• GR Categoria dei gruppi
  • Oggetti = gruppi
  • Morfismi = omomorfismi di gruppi
• V_K Categoria degli spazi vettoriali sul campo K
  • Oggetti = sp. vett. su K
  • Morfismi = applicazioni lineari
• TOP Categoria degli spazi topologici
  • Oggetti = sp. top.
  • Morfismi = applicazioni continue

Elementi di algebra e notazioni

Definizione: Categoria

Una categoria è individuata da:

• Ob(⊙) Una classe di oggetti
• ∀A, B ∈ Ob(⊙) un insieme di morfismi Hom_⊙(A, B) che soddisfano
  • ∀A,B,C ∈ Ob(⊙) una funzione composizione Hom_⊙(A,B) × Hom_⊙(B,C) → Hom_⊙(A,C)
  • (f, g) ↦ g ∘ f
  • associativa
  • ∀A ∈ Ob(⊙) ∃ 1_A ∈ Hom_⊙(A,A) identità t.c.
  • ∀f ∈ Hom_⊙(A,B) ∀B ∈ Ob(⊙) f ∘ 1_A = f e 1_B ∘ f = f

Definizione: Sottocategoria

⊙ ⊆ ⊙ ⇔ Ob(⊙_D) ⊆ Ob(⊙_E) e Hom_D(A,B) ⊆ Hom₂(A,B) ∀A, B ∈ Ob(⊙_D)

Definizione

f: A → B morfismo in ⊙

• f ∈ monomorfismo ⇔ ∀un: C → A f ∘ u = g ∘ u implica u = v
• f ∈ epimorfismo ⇔ ∀un: B → C u ∘ f = v ∘ f implica u = v
• f ∈ isomorfismo ⇔ ∃g: B → A: g ∘ f = 1_A e f ∘ g = 1_B

Esempi

• Ens categoria degli insiemi
  • oggetti = insiemi
  • morfismi = applicazioni tra insiemi
• Gr categoria dei gruppi
  • oggetti = gruppi
  • morfismi = omomorfismi di gruppi
• V_K categoria degli spazi vettoriali sul campo K
  • oggetti = Sp. vett. su K
  • morfismi = applicazioni lineari
• Top categoria degli spazi topologici
  • oggetti = Sp. top.
  • morfismi = applicazioni continue

Nota che un isomorfismo d'insiemi alla categoria di riferimento ad esempio

=Ens

A⟶_id⟶A

corrisponde all'isomorfismo

=Top

(A, τ̅) ⟶^id⟶ (A, τ̅) (con τ' meno fine di τ̅)

è continua ma non è l'isomorfismo!

Def: Funtore

', categorie

F: '⟶ si dice funtore covariante

• ∀A∈' F(A)=(O) ovvero è una funzione Obj(O)⟶Obj(O)
• ∀A,B∈' ∀f:A⟶B ∃F(f):F(A)⟶F(B)t.c. F( ∘ )=F()∘F() e F(Id_A)=Id_F(A)rispetta composizione e identità

Esempi

Φ:ℕ_k⟶ℕ_k

E ⟶ E^∗

E⟶F⟶F^∗⟶E^∗

Funtore convariante

dove Ψ^∗:F^∗⟶E^∗μ: F⟶K

μ₁:F⟶Kμ⟶Ψ^∗μ^∗=μ∘E

(E_e)^∗(μ)=μ∘ℓ =μ=(ι_E)(μ)

(∘)^∗=^∗ ∘ ^∗

2^√