Funzioni di più variabili: definizione, continuità, limiti, derivate, Jacobiana, analisi dei punti critici

Funzioni di più variabili

06-03-18 martedì 6 marzo 2018 14:38

Funzioni reali di più variabili

Def: \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) \( x = (x_1, x_2, ..., x_n) \to z = f(x_1, x_2, ..., x_n) \) \( f \) è definita in un aperto. Definita vettore in Rⁿ.

Conclusione: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\). \( f \) definita in un aperto allora \( n \) è reale.

N.B. Standard: variabile \( x \) → \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \) \( f:(x, y)\mapsto z \quad z = f(x,y) \) \( f(x,y) = x^2 \cdot y \] \[\[f(x,y) = \frac{2x-4}{x+y} \)

es. \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) (x,y,z) \( \mapsto z = f(x,y,z) \) \( z = ln(x + y + z) \] \[ z = e^{x^2} \)

NB: Impariamo a studiare le seguenti proprietà:

• Dominio
• Continuità
• Derivabilità
• Integrabilità

NB: Se posso e trovo fare i grafici di f₁ in più variabili.

es. \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \)

1. \((x,y)\mapsto z = f(x,y) \) essere due dimensioni \( (x,y) \) ad ogni punto \( x)(x,y) \) non è.
2. \( z = f(x,y) \): rappresenta una superficie nello spazio \( f(x,y) = x^2 + y^2 \]

Curve di livello

Def: Curve di livello.

Sono succ di insieme: \( L_k = \left( (x,y): f(x,y) = k \right) \medskip \text{tutte k part dell'insieme } Servono x avere una traccia del grafico di x.

N.B. \((f(x,y) \leq k ) \] \text{Det le Curve di livello st grafiche di f(z)}

Dobbiamo risolvere \( f(x,y) = x^2 + y^2 = k \left\ x,k \in \mathbb{R} \)

• K < 0 ⇒ ∅
• K = 0 ⇒ Pk ∈ (0,...)
• K ∈ (0,...) ⇒ [0,0]
• K >> 0 ⇒ \)(x,y) = circonferenza al centro o c. r=R
• Paraboliche

Appunti Pagina 1

Funzioni di più variabili

06-03-18 martedì 6 marzo 2018 14:38

Funzioni reali di più variabili

Def₁ f: Rⁿ → R x = (x₁, ..., x_n) → z = f(x₁, ..., x_n) - vettore in n componenti.

Definizione vettoriale f: Rⁿ → R^m.

Codominio: R → R (cf coincide ad ogni altro un n reale).

es. f: R² → R (x, y) → z = f(x, y) f(x, y) = x² + y² (cg coincide adogni altro un n reale).

es. R³ → R → R (x, y, z) → t = f(x, y, z) f(x, y, z) = x + y + z.

es. f: R² → R y = f(x, y, z) = e^z.

Proprietà

• Definite
• Limiti
• Continuità
• Derivabilità

Curve di livello

Def: Curve di livello.

Segue da: otteniamo l'insieme.

Segue da: {(x, y)|f(x, y) = c} part del risultante.

Siamo su varie tracce ad ogni piano (x, y, z).

f: R² → R → z = f(x, y).

Siamo su dimensioni ai quali non è rappresentabile graficamente.

Curva di livello - grafico di f₁.

Dobbiamo risolvere f₁(x, y) = c₁ con c₁∈R.

• K=0 N₂ (0,0) 0 ≤ [0,0.00]
• K>0 N₂: circonferenza di centro o e r=R
• Paraboloide

Appunti Pagina 1

k > x₀ ⇒ Δx = circonferenza di centro 0 e r_k.

Paraboloide.

Dominio di funzioni di x variabili

Stesse regole già viste per le funzioni di una variabile.

1. f(x,y)=log_xy

c.e. x >0 x >y>0 x >x₀ >0 casuale il tencerlope del dominio (disegna solo il piano per vedere il dominio).

2. f(x,y) = √y - x

c.e. y≥0 y≥x+2.

3. f(x,y) = √x²+y

c.e. x²+y≥0 y≥ -x² ricorda solo il pt. da studiare supera il profilo di -x².

4. f(x,y) = √x² - e^t y + x

c.e. x>0 x²+y>0 c.e. x²+y >0 (può non rappresentarle chiaramente).

Appunti Pagina 2

Limiti e continuità di funzioni in più variabili

08-03-18

Def: Dato _{2 x1, y1}, _{2 x2, y2} ∈ ℝ², si definisce norma di u la qtc: ||u||₂ = √((x₂ - x₁)²+(y₂ - y₁)²).

Def: dati x₁, x₂ ∈ ℝⁿ, u=(x₂-x₁) ∈ ℝⁿ si chiama distanza ||u||₂ = d₂(x₁, x₂) = √((x₂¹ - x₁¹)² + (x₂² - x₁²)² + … +(x_n² - x_n¹)²).