Formulario Topografia (cartografia e parte di probabilità e statistica)

Probabilità classica

Probabilità classica P(A) = ^m⁄_M

Probabilità non HIZES

Probabilità non HIZES f_s(A) = ^m_A⁄_M

Probabilità totale

Probabilità totale ɔ, ʃ = ∅ ⇒ P(ɔ ∩ ʃ) = P(ɔ) + P(ʃ)

ɔ, ʃ ≠ ∅ ⇒ …

Probabilità condizionata

Probabilità condizionata P(ɔ | ʃ) = ^{P(ɔ ∩ ʃ)}⁄_P(ʃ)

P(ɔ ∩ ʃ) = P(ɔ|ʃ) P(ʃ)

Indipendenza stocastica

Indipendenza stocastica P(ɔ ∩ ʃ) = P(ɔ) P(ʃ)

Probabilità associata

Probabilità associata P(ʃ_i) = ∑ P(E_j) P(ʃ_i|E_j)

Variabile casuale

Variabile casuale X: S → ℝ t.c. E_X = ∫ x(s)X(s) µ(d)

Funzione di distribuzione

Funzione di distribuzione F_X(x) = P(X ≤ x) = P({X(s) ≤ x})

VC discreta

VC discreta X: x₁, x₂, ..., x_m

P: p₁, p₂, ..., p_n

0 <= p_i <= 1

Media

Media μ_X = ∑^m_i=1 x_i p_i

VC continua

VC continua

Densità di probabilità

Densità di probabilità f_X(x) = lim_{Δx → 0} ^{P(x ≤ X < x + Δx)}⁄_Δx

Varianza

Varianza σ_X² = ^{∫ (x - μ_X)2 f_X(x) dx}⁄_{∫ fX(x) dx}

Quantile

Quantile x = x_K T.C. F_X(x) = K com oe < K

Mediana

Mediana x = x_0.5 K = 0.5

Operatore media

Operatore media M[g(x)] = ∫^+∞_-∞ g(x) f_X(x) dx

Teorema Tchebychev

Teorema Tchebychev P(|x - μ_X| > λσ_X) <= ¹⁄_λ²

Teorema Bayes

Teorema Bayes P(E_i|x) = ^{P(E_x|E_i) P(E_i)}⁄(∑_k=1ⁿ P(E_x|E_k) P(E_k))

Probabilità classica e non fisica

Probabilità classica

Probabilità Classica P(A) = ^m_A∕_m

Probabilità non fisica

Probabilità Non Fisica P_r(A) = ^m_A(n)∕_m⁽ⁿ⁾

Probabilità totale

Probabilità Totale² E_i∩E_j=∅ ⇒ P(E₁∪E₂)=P(E₁)+P(E₂)

¬∅ ⇒ P(E₁∪E₂)=P(E₁)+P(E₂)-P(E₁∩E₂)

Probabilità condizionata

Probabilità Condizionata P(E₁∪E₂) = ^{P(E₁∩E₂)}∕_P(E2)

P(E₁∩E₂) = P(E₁|E₂) * P(E₂)

Indipendenza stocastica

Indipendenza Stocastica P(E_|E) = P(E_i∩E_j) = P(E_i) * P(E_j)

Probabilità assoluta

Probabilità Assoluta P(E) = ∑_j P(E|E_j) * P(E_j)

Variabile casuale

Variabile Casuale X : S → ℝ

Funzione di distribuzione

Funzione di Distribuzione F_X(x) = P(X≤x) = P(ω∈S : X(ω)≤x) ∀x∈ℝ

0 ≤ F_X(x) ≤ 1

F : P(∅)=0

VC discreta

VC Discreta x₁, x₂, ..., x_n

P₁, P₂, ..., P_n

0 ≤ P_i ≤ 1

Media

Media μ_X = ∑_i=1^m x_iP_i

Varianza

Varianza σ_X² = ∑_i=1^m (x_i-μ_X)²P_i= ∑_i=1^m x_i²P_i - μ_X²

VC continua

VC Continua

Densità di probabilità

Densità di Probabilità f_X(x) = Ϝε F_X(x + ∆x) - F_X(x)

f_X(x) ≥ 0

∫_-∞^+∞ f_X(x) dx = 1

Media μ_X = ∫_-∞^+∞ x f_X(x) dx

Varianza σ_X² = ∫_-∞^+∞ (x - μ_X)² f_X(x) dx

Quantile

Quantile x = x_κ T.C. F_X(x) = K con 0≤K1

Mediana

Mediana x = x_0.5   K=0.5

Operatore media

Operatore Media H [ g(ω) ] = ∫_-∞^+∞ g(x) f_X(x) dx

Teorema Tchebychev

Teorema Tchebychev P(|x - μ_i| ≥ λσ_i) ≤ ¹∕_λ²   ∀λ > 1

Teorema Bayes

Teorema Bayes P(E_i|E) = ⎛ ^{P(E|E_j) * P(E_j)}∕_{∑k=1ⁿ (P(E|Ek) * P(Ek))}

Variabile casuale congiunta

Variabile casuale

Variabile Casuale X = [x]

Funzione di distribuzione congiunta

Funzione di distribuzione congiunta F_x(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)

0 ≤ F_x(x,y) ≤ 1

V.C. discreta

V.C. Discreta P_ij = P(X = x_i; Y = y_j)

F_x(x₀,y₀) = ΣΣ P_ij

V.C. continua

V.C. Continua f₂ = ∂ F₂ (x,y) / ∂ x ∂ y

Probabilità marginale

Probabilità marginale P(X = x_i, Y = y_qualsiasi)           = Σ P_ij = P_i

P(X = x_qualsiasi, Y = y_j)           = Σ P_ij = Q_j

Condizionare

Condizionare P(X = x_i | Y = y_j) = P_ij / Q_j

Densità di probabilità marginale

Densità di Probabilità Marginale f_x(x) = ∫ f₂(x,y)dy

f_y(y) = ∫ f(x,y)dx

Densità di probabilità condizionale

Densità di Probabilità Condizionale f_x|y(x|y) = f₂(x,y) / f_y(y)

Media, varianza e covarianza

Media µ_x = M_x[X]

Varianza σ²_x = [ σ² ]

σ² = ΣΣ (x_i - µ_x)² p_i

Covarianza σ_xy = ΣΣ (x_i - µ_x)(y_j - µ_y) p_ij

Variabile casuale in funzione di un'altra variabile casuale

Variabile casuale in Funzione di un'Altra Variabile Casuale y = g(x) Ω: R → R A_i ∈ R n A = ∪ A_i g(x_i) = y_0

P[y ∈ A] = P[x ∈ A_i]

A_i = dy_i(y_0) → A = ∪ A_i_i=1

P[y ∈ dy_i(y_0)] ≈ ∑_i=1 P[x ∈ dx_i(x_i)]

f_y(y_0) = ∑_i=1 f_x(x_i) / |dy/ dx|_{x=x_i}

f_y(y_0) = ∑_i=1 f_x(x_i) / |g'(x_i)|

Caso n-dimensionale

Caso n-dimensionale g(x): R^m → R^M m = M f_y(y_0) = f_x(g^-1(y_0)) / det J_g

Teorema della media

Teorema della media y = g(x) ^{y_i = E_y[Y] = E_x[g(x)]}

E_y = ∫^{R^m} y f_y(y)dy = ∫^{R^m} g(x) f_x(x)dx

se g(x) non lineare: g(x) ≈ g(μ_x) + J_g (x - μ_x)

Propagazione della covarianza

Propagazione della covarianza C_yy = A C_xx A^T

se g_α non lineare g(x) ≈ g(μ_x) + J_g |_{μ_x(x - μ_x)}

C_yy = J_g C_xx J_g

Variabili casuali notevoli

Variabile casuale binomiale

Variabile casuale binomiale p(q --- : p^k q^m-k

p = Probabilità 'successo

q = Probabilità 'insuccesso

m = Prove

k = successioni

(m k) => P(M, k) = (m k) p^k q^m-k oppure

Variabile casuale normale 1D

Variabile casuale normale 1D densità di probabilità f_(x) = 1 / √(2π) e^{-(x - μ_x)^2 / 2⊖x^2}

Variabile casuale normale standardizzata

Variabile Casuale Normale Standardizzata μ_z = 0 σ_z^2 = 1

f_z(x) = 1 / √(2π) e ^{-z^2/2}

Indipendenza stocastica e correlazione

Indipendenza stocastica

Indipendenza Stocastica P[X=x_i, Y=y_j] = p_ij = p_j

f_xy(x,y) = f_x(x) * f_y(y)

p_i = P [X=x_i]

Se X e Y sono S.I.

σ_xy = 0

Indice correlazione lineare

Indice correlazione lineare r_xy = σ_xy / σ_xσ_y(∀ L.D. ρ_jw = ±1)

Variabile casuale n-dimensionale

Variabile casuale n-dimensionale osso continuo

Variabile Casuale n-Dimensionale Osso Continuo X = [x₁,x_n]

funzione di distr. congiunta F_x (x) = P [X ⊝ x_c]

densità di probabilità

densità di probabilità

Densità di probabilità marginale

Densità di probabilità Marginale di x_i:

f_x(x) = ∫^+∞_-∞ dx_n ... ∫^+∞_-∞ f_x (x)

Densità di probabilità condizionata

Densità di probabilità Condizionata di x₁,x₂,...x_n:

di x₁ rispetto alle altre f_{x1|x2,...xn (x1 | x2,...xn) = fx(x)}

delle prime k componenti f_{x1,x2,...xk | xk+1,...xn (x1,x2,...xk | xk+1,...xn) = fx(x)fxk+1,...,xn}

Indipendenza sequenziale

Indipendenza Sequenziale delle prime k rispetto le altre f_{x1,x2,...xk,...,xn (x1,x2,...xk | xk+1,...,xn) = fx1,x2,...xk}

e tutte le comp. tra loro f_x (x) = f_x1 (x₁) * f_x2 (x₂) ... f_xn (x_n)

Media

Media μ_x = [μ₁, ..., μ_n]

μ_i = ∫^+∞_-∞ dx_i * x_i * f_xi (x_i)

Varianza

Varianza σ_xi² = [σ₁₁², ..., σ_nn²]

σ_i² = λ_x E [(x_i-μ_i)²] = ∫^+∞_-∞ (x_i - μ_i)² f_xi (x_i)

Covarianza

Covarianza covarianza_ij = λ_x [E (x_i,x_j) - μ_i,μ_j)] = ∫^+∞_-∞ dx_i∫^+∞_-∞ dx_j (x_i - μ_i) (x_j - μ_j) f_xixj (x_i,x_j)

Matrice di covarianza

Matrice di covarianza C_xx = [σ_ij] = [σ² ... σ²] i = 1,...n j = 1,...,n

di tutte variabili urbano insieme C_xx = σ_o² I_(n.m)(n.m)

Variabile casuale normale in Rm

Variabile Casuale Normale in R^m f_X(x) = ¹⁄_(2π)^m/2 |C_X|^-1/2 e^{-1/2 (3-4) C _X-1 (X-1_M)}

V.C.N. standardizzata in Rm

V.C.N. Standardizzata in R^m f_Z(z) = ¹⁄_(2π)^m/2 e^{-1/2 Z Z} μ₂₀ = 0 C_{Z Z} = I

z = a^-1(x-μ_x), a² = C_X

Sia m=2, f(x₁, x₁) = f_X(λ) f_Y(y) p_{y y} = 0 ρ_xy ≠ 0

Successioni di variabili casuali

Convergenza statistica

Convergenza statistica Successioni di Variabile Casuali {X_m} Convergenza Statistica

X_m converge alla Convergenza Statistica e² concentrata V ∅

Condizione sufficiente tale: xm{F_m(x) }1 lim p[|x_m|ε]

Teorema di Bernoulli

Teorema di Bernoulli H[F_m] = p

σ² [F_n] = pq → p e q ⇔ per tutti &e;

Probabilità di avviate n esperimento

Convergenza in legge

Convergenza in Legge lim F_m(X_m) → F_X(x), Successiva converge x₀ x_u converga

F_m(X) funzione di distribuzione di X_m

F_x(X) funzione di distribuzione di X

Teorema centrale della statistica

Teorema centrale della Statistica Dato f? succ di vc. tale che {H(X_k)} = μ

{σ²[X_k]} = σ²

Si definisce S_n = ΣX_k che converge in legge a X normale

S_n → X = N(μ, σ²)

X è definita da media μ e varianza σ²

Statistica

V.S. 1D n discreta

Statistica V.S. 1D n Discreta {X₁ ... X_n} {f₁ ... f_n}

freq. relativa f_i = N_i/m

N_i: num val estratti con valore x_i

∑_i=1ⁿ f_i = 1

Con t in casual min {X_min < X < X_max condizione a minima x_min

freq. relativa {f^j}= ^Nj⁄_N

N_j: num ∩ di Aj Istogramma rappresento {min = x_min

H_{i j} = 1/S_Aj N/1 N/A

∑ R_j a = 1

V.S. 2D discreta

V S 2D Discreta ⎸x⎸----⎸y⎸----⎸γ⎸m-------⎸------⎸fₓᵢ fᵧⱼ fᵧᵢ= Nᵢⱼ/N

Nⱼ : num. est. camp. exit. x=y₀

N : num totale campioni estr.

Continua

Continua xᵐᵐ ≤ x ≤ xᵐₐₓ

yᵐᵐ ≤ y ≤ yᵐₐₓ

N ₑᵣ = numero coppie (xᵢ, yⱼ) ∈ Δ xₑᵣ

h ₑᵣ = N ₑᵣ/ N Δ ≥ ₑᵣ

Inferenza statistica

Inferenza statistica f’(x,θ) : densità probabilità parametrici da cui dipende la densità di probabilità.

Principio di massima verosimiglianza

Massima verosimiglianza ^ Discreto | L (x₁,...,xₙ,∅) = p (x₁,∅) ●●● p (xₙ,∅) | probabilità di estrarre un dato campione V Continuo | L (x₁,...,xₙ,∅) = fₓ (x₁,∅) ●●● fₓ (xₙ,∅)

È stima ê della probabilità di estrarre il campione da (x₁,...,xₙ) che massimizza L(x₁,...xₙ)

t = t(x₁,...,xₙ) stimatore di ∅ Corretto Stimatore: |E|[t] = ∅ Consistente

Stima di µ: media campionaria mₙ = Σₙ Xᵢ/n (m = [µ,σ²/n])

Stima di σ²: varianza campionaria

Stimatore corretto s² = 1/(n-1) Σₙ (xᵢ - m)² 3. s² = 1/(n-1) (Σ x²ᵢ) - m²)

Verifica di ipotesi su parametro di una distribuzione

• 1) Ipotezo H₀ ϵ Q
• 2) ∅ corr. & consistente → Definisco t ∩ Calcolo ℓ ∩ stabilisco α

• Se non τ applico test T & verifico l’intervallo alta probabilità P(t ϵ I - x ) t ∩ calcolo t ^e I - x

Estrae campione d’uscita ∴ {applico t₁, calcolo t t ∩} TEST di ipotesi su MEDIA e VARIANZA

VC NORMALE :(m⎸ ⎸ = [µ,σ²/n]) ┎--- ---┑ x τ

H₀ : ² / || µ / || ²/n-1/n = √ m,s² stocasticimo ∋ x² x∈I.Ќ. sospetto tra questi / {I CAMPI Н U M N T E n ϵ ,n ESTRAE Ç⎝s^²⎠ adʻho distribvr Iㅣem PMI, IZↄ

• 1) Estra 직䌇⎝ из [µ, σ²/n]
• 2) ⓒⓣ{a,ℓₒ/trovo | ⓫

Cartografia

Coordinate e distanze

Cartografia E^x : coordinata Est depurata di falsa origine (-500000 m ÷ 1500000 m)

d_{12 CARTA} = √((E_2A-E_1A)²+(N₂-N₁)²)

d_{12 ellis} = d_{12 CARTA}

d° = d_ellij R (rad)

Cartografia d_{12 REALE} = √((R₁+R₂)² + (R₂+ρ₁)² + 2(C(R₁+R₂)+ 2(C(R₁+R₂)))

0006 (R₁+ρ₁)0006 Angolo zenitale teorico: d₁₂: Sin δ = (R₁+ρ₁) : Sin z → Trovo z

Angolo zenitale reale: S = Z teorico - k R d_2R dellis

Modulo deformazioni lineare

Modulo deformazioni lineare m = S_p (1 + Σ_MA^x * Σ₂) / 2 : * S_P R₂) * archi michesimi S_p

2 m = S_P + Σ_MA^x * Σ₂ dimensions a 2 x c * Σ_m^x * archi finti + S_p . G . R²

(S_P : FATTORE DI SCALA 0,99996 + curte Gauss

Grannotare

Grannotare _ɸN_p = a / √(1 - e²ƛ^-2m²ɸ_₂p)

Raggio serra locale

Raggio serra locale R_ρ = √N v R

Raggio meridiano

Raggio meridiano ρ_ρ = a (1 - e²) / √(1 - e²ƛ²m²ɸ²_₂p)

Convergenza del meridiano

Convergenza del meridiano γ = (λ_ₚ - λ_°)ƛrm ɸ_ₚ (1 + 1 / 3 (λ_ₚ - λ_°)² cot ɸ_ₚ (3e² / 1 - e² cot ɸ_ₚ))

Longitudine origine fuso λ_₀ = 9° FUSO 32

λ_₀ = 15° FUSO 33

γ = (λ_{ₚ - λ°)ƛrm ɸₚ}

(a: latitudine es: 46°00’42’’18’’ = (46+00:12/60/+42/60) 11 rad / 180 60 9.300 6∞4 ƪ

Angolo e riduzione delle corde

Angolo Θ_AB = arctgE_ₐ - E_g (rad)

N_ₐ - N_B

Riduzione delle corde E_ₚₐ = (N_ₚ - N_ₐ) (2Σ_ₐx * 2C x') / S_F / G / R₂²