Formulario Statistica

Intervalli di confidenza

1 popolazione

σ nota

σ_x   x́   −z_α/2 < μ < x́ + z_α/2   √σ/√n

σ incognita

s   x́   −t_{α/2; n−1} < μ < x́ + t_{α/2; n−1}   √s/√n

Proporzione

p   p̂   −z_α/2 < p < p̂ + z_α/2   √p̂(1−p̂)/√n

2 popolazioni – campioni dipendenti – differenza tra medie

s_d   d́   −t_{α/2; n−1} < μ_d < d́ + t_{α/2; n−1}   √s_d/√n

2 popolazioni – campioni indipendenti – differenza tra medie

σ_x e σ_y note

√σ_x²/n_x + σ_y²/n_y   (x́ − ý) − z_α/2 < μ_x − μ_y < (x́ − ý) + z_α/2

σ_x e σ_y incognite e uguali

√s_p²/n_x + s_p²/n_y   (x́ − ý) − t_{α/2; nx+ny−2} < μ_x − μ_y < (x́ − ý) + t_{α/2; nx+ny−2}

σ_x e σ_y incognite e diverse

√s_x²/n_x + s_y²/n_y   (x́ − ý) − t_{α/2; υ} < μ_x − μ_y < (x́ − ý) + t_{α/2; υ}

2 popolazioni – differenza tra proporzioni

√p̂_x(1−p̂_x)/n_x + p̂_y(1−p̂_y)/n_y

(p̂_x − p̂_y) − z_α/2 < p_x − p_y < (p̂_x − p̂_y) + z_α/2

Varianza

(n−1)s²/χ_{α/2; n−1}² < σ² < (n−1)s²/χ_{1−α/2; n−1}²

Media, varianza e proporzione

Media campionaria

x́ = ∑x_i/n

Media campionaria

E(x́) = μ

Media

Var(x́) = σ²/n

Varianza

σ_x́ = σ/√n

Scarto quadratico medio

Var(x́) = σ²/n · (N−n)/(N−1), per: n > 5% N

Varianza per:

σ_x́ = σ/√n · (N−n)/(N−1), per: n > 5% N

Scarto quadratico medio per:

z = (x́ − μ)/(σ/√n)

Se la distribuzione campionaria è normale possiamo utilizzare z per calcolare le probabilità relative alla media campionaria.

Varianza campionaria

s² = ∑(x_i − x́)²/(n−1)

Varianza campionaria

E(s²) = σ²

Media

Var(s²) = 2σ⁴/(n−1)

Varianza (solo se popolazione normale)

Se la popolazione di partenza è normale, allora la varianza campionaria e la varianza della popolazione sono collegate attraverso la distribuzione chi-quadrato.

(n−1)s²/σ² = ∑(x_i − x́)²/σ²

E(χ²) = υ

Media

Var(χ²) = 2υ

Varianza

Proporzione campionaria

p̂ = x/n

Proporzione campionaria

E(p̂) = p

Media

Var(p̂) = p(1−p)/n

Varianza

z = (p̂ − p)/√p(1−p)/n

La distribuzione della proporzione campionaria può essere approssimata alla z.

Var(p̂) = p̂(1−p̂)/n, per: np̂(1−p̂) > 9

Varianza per:

Se l’ampiezza campionaria è elevata, di norma np̂(1−p̂) > 9, allora la distribuzione della proporzione campionaria segue la normale e possiamo utilizzare z per calcolare le probabilità relative alla proporzione campionaria.

Formule varie

s_d = √∑(d_i − d́)²/(n−1)

Scarto quadratico medio campionario

s_p² = ((n_x−1)s_x² + (n_y−1)s_y²)/(n_x+n_y−2)

Varianza campionaria ponderata

υ = (s_x²/n_x + s_y²/n_y)²/((s_x²/n_x)²/(n_x−1) + (s_y²/n_y)²/(n_y−1))

Gradi di libertà: varianze incognite e diverse

n = z_α/2²σ²/(ME)²

Ampiezza per la media campionaria

0,25(z_α/2)²