Formulario statistica 2

Formulario statistica

Eventi

Evento impossibile = 0

Evento certo = 1

nE

P(E) = lim n→∞ nE / n

Probabilità di un evento: f(E) = freq. rel. in cui si verifica un evento: nE / n = num. di prove in cui si verifica l’E; n = num. di prove tot.

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B)

Teorema della regola della somma:

Probabilità condizionata: P(A / B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0. —> P(A ∩ B) = P(A / B)P(B).

P(B / A) = P(A ∩ B) / P(A), con P(A) > 0. —> P(A ∩ B) = P(A / B)P(A).

Indipendenza: P(A ∩ B) = P(A)P(B) → P(A / B) = P(A), P(B / A) = P(B), con reinserimento e P(A)=0, P(B)=0.

Incompatibilità: se 2 E sono compatibili non sono indipendenti: P(A ∩ B) = 0 senza reinserimento.

P(A) = P(A ∩ E1) + P(A ∩ E2)) + . . . + P(A ∩ En)

Teorema delle probabilità totali: —> P(A) = ∑ P(Ei)P(A / Ei). Probabilità di 1 evento.

Variabili casuali

Variabili casuali discrete

Funzione di probabilità: P(xi) = P(X = xi):

Funzione di ripartizione: F(x0) = P(X ≤ x0) = ∑ P(x)

Valore atteso/media: E(X) = ∑ xi P(xi) = μX

Varianza: V(X) = σ² = ∑ (xi − μX)² P(xi)

Y = a + bX

• Trasformazione lineare: E(Y) = E(a + bX) = a + bE(X)
• V(Y) = V(a + bX) = b² V(X)
• Somma di variabili casuali: E(X1 + X2 + . . . + Xn) = E(X1) + E(X2) + . . . + E(Xn)
• Se le v. c. sono indipendenti: V(X1 + X2 + . . . + Xn) = V(X1) + V(X2) + . . . + V(Xn)

Variabile casuale uniforme discreta

Variabili casuali uniforme discreta: X ~ Ud(a, s). Si indica con dove:

• S —> il num. di valore che la v. c. può assumere;
• A —> il + piccolo valore.

La media: E(X) = a + (s − 1) / 2;

La varianza: V(X) = (s² − 1) / 12.

Variabile casuale Bernoulli

Variabili casuali Bernoulli: X ~ Ber(π), P(x) = π^x (1 − π)^1−x; x = 0,1. Si indica con dove:

• Parametro che indica la probab. di successo, in cui P(X = 1) = π → 0 ≤ π ≤ 1;
• P(X = 0) = 1 − π.

La media di una v. c. di Bernoulli X è: E(X) = π

La varianza di una v. c. di Bernoulli X è: V(X) = π(1 − π).

Variabile casuale binomiale

Variabili casuali binomiale (Bernoulliana): X ~ Bin(π, n), e si indica con P(x) = (n x)π^x(1 − π)^n−x, dove: (n x) = n! / x!(n − x)!

• N —> num. di ripetizioni dell’esperimento Bernoulliano;
• π —> probab. di successo, costante ad ogni estrazione;
• X —> num. di successi;
• (n x) —> coefficiente binomiale, numero di sequenze in cui si hanno x successi in n prove.

Il coefficiente binomiale: (n x) = n! / x!(n − x)!.

• N! —> rappresenta il prodotto dei primi n num. naturali n!= (1)(2)…(n-1)n;
• 0! = 1 —> per definizione;
• (n 0) = n! / 0!(n − 0)! = n! / 1n! = 1
• (n 1) = n! / 1!(n − 1)! = n!(n − 1)! / 1(n − 1)! = n
• (n n) = n! / 0!n! = 1
• (n n−1) = n! / (n − 1)!1! = n

La media di una v. c. Binomiale X: E(X) = nπ

La varianza di una v. c. Binomiale X: V(X) = nπ(1 − π).

Variabile casuale uniforme continua

Variabile casuale uniforme continua: X ~ U(a, b), dove: si indica con

• A —> il + piccolo valore;
• B —> il + grande valore.

La media di una v. c. Uniforme continua X è: E(X) = (a + b) / 2

La varianza di una v. c. Uniforme continua X è: V(X) = (b − a)² / 12.

Variabile casuale normale

Variabile casuale normale: U ~ N(μ, σ²). Si indica con può assumere valori su tutto l’asse reale (−∞ ≤ x ≤ +∞), con funz. di densità:

f(x) = 1 / σ√2π e^{−1/2((x − μ) / σ)2}, (−∞ ≤ x ≤ +∞).

• μ: valore atteso o media —> (−∞ < μ < +∞)
• σ: scarto quadratico medio —> σ > 0;
• π ed e sono delle costanti: π = 3,141 e = 2,718;
• Il valore atteso (media o speranza matematica): E(X) = μ;
• La varianza: V(X) = σ².

Variabile casuale normale standardizzata

Variabile casuale normale standardizzata: la v. c. standardizzata Z si ottiene mediante la seguente trasformazione: Z = (X − μ) / σ. Si indica con Z ~ N(0, 1). Ha la seguente funzione di densità:

f(x) = 1 / √2π e^{−1/2 z2}, (−∞ < Z < +∞).

In cui i parametri assumono i seguenti valori: μ = 0; σ = 1.

F(zi) = Φ(zi) = P(Z < zi): Φ(.).

Se P(z ≤ zi) o P(z > − zi) —> Φ(z) = 1 − Φ(z).

Successione di v.c. i.i.d.

Variabili casuali

Successione di v.c. i.i.d.: la somma di variabili casuali: S = X1 + X2 + X3 + . . . + Xn;

Approfondisce lo studio di una successione (o sequenza) di variabili casuali, indipendenti e identicamente distribuite, aventi cioè, …, . . .

La media di variabili casuali: X− = (X1 + X2 + X3 + . . . + Xn) / n;

Funzione di probabilità o di densità, qualunque essa sia (Uniforme, Bernoulli,

Teorema del limite centrale: Sn = somma delle successioni.

E(X1 + X2 + X3 + . . . + Xn) = E(X1) + E(X2) + . . . + E(Xn) = nμ

Inoltre, ci limiteremo ad esporre le proprietà di alcune successioni che sono V(X1 + X2 + X3 + . . . + Xn) = V(X1) + V(X2) + . . . + V(Xn) = nσ²

Comprensione dell’inferenza statistica.

Quindi si può scrivere: Sn ~ N(nμ, nσ²) —> Z = (Sn − nμ) / √nσ² → d Z ~ N(0, 1).

Variabili casuali: nσ² = + + + ⋯ + 2 1 2 3

Z = (X− − μ) / (σ / √n) → d Xത ~ N(μ, σ² / n) —> Z ~ N(0, 1).

Variabili casuali: = + + + ⋯ + n σ n 1 2 3 n

ff ffi fi

Il campionamento

Popolazione finita

Popolazione finita:

• Media della popolazione: μ = 1 / N ∑ xi
• Varianza della popolazione: σ² = 1 / N ∑ (xi − μ)².

Popolazione infinita

Campionamento probabilistico

Popolazione infinita: v. c. discreta + v. c. continua.

Campionamento casuale semplice: il numero di possibili campioni.

Media della popolazione:

μ = E(X) = ∑ xi p(xi)

μ = E(X) = ∫_−∞^+∞ x f(x)dx

In generale si può dimostrare che il numero dei possibili campioni distinti di unità estraibili da una popolazione finita di dimensione dipende dalla modalità di estrazione del campione e dal fatto che si consideri o meno l’ordine di estrazione:

Varianza della popolazione:

σ² = ∑ (xi − μX)² p(xi)

σ² = ∫_−∞^+∞ (x − μX)² f(x)dx.

Estrazione Campioni ! − !! + − 1 ! ! − !! − 1 !

Distribuzione campionaria

Distribuzione campionaria:

Media campionaria: X− = (X1 + X2 + . . . + Xn) / n = 1 / n ∑ X

N

• Estrazione con ripetizione —> i possibili campioni sono: Nⁿ;
• Estrazione senza ripetizione —> i possibili campioni sono: N! / (N − n)!.

Media campionaria con ripetizione

Media campionaria con ripetizione:

• Il valore atteso: E(X−) = μX− = μ;
• La varianza: V(X−) = σ²X− = σ² / n;
• Lo sqm (deviazione/errore standard): SD(X−) = σX− = σ / √n.

Media campionaria senza ripetizione

Media campionaria senza ripetizione:

• Valore atteso: E(X−) = μX− = μ;
• Varianza: V(X−) = σ²X− = σ² / n · (N − n) / (N − 1); dove (N − n) / (N − 1) è il fattore di correzione per popolazione finita.

Se n=N —> V(X)=0

Popolazione normale

Popolazione normale: X ~ N(μ, σ²). Si indica con

Qualunque sia la numerosità campionaria n: X ~ N(μ, σ²) —> X− ~ N(μ, σ² / n).

La media campionaria X ~ N(μ, σ²) —> X− ~ N(μ, σ² / n) → Z = (X− − μ) / (σ / √n) N(0,1); dove X− ~ N(μ, σ² / n) → Z.

Forma della distribuzione

La forma della distribuzione: alcuni esempi

La media campionaria n

La figura rappresenta la distribuzione della media campionaria per campioni di diversa ampiezza ► Si può usare la funz. di rip. della v. c. Z per calcolare la P che X− appartenga a qualsiasi intervallo.

La forma della distribuzione: schema riassuntivo estratti da tre popolazioni aventi distribuzioni differenti.

Nella tabella seguente, lo schema per ricavare la forma della distribuzione della media campionaria.

► Quanto più la distribuzione della variabile nella popolazione è simmetrica e campanulare, tanto minore è la dimensione campionaria per la quale si ha una buona approssimazione alla.

Distribuzione della variabile nella popolazione: popolazione è simmetrica e campanulare tanto minore è la dimensione campionaria.

2 2 2 ~ , ~ ? , ~ , per la quale si ha una buona = approssimazione alla.

2 ò ò σ ത → calcolo ~ , ( ) = 22 2 σ σ σ ത ത ത → ~ , ~ , ~ , = fi fi a fi

Variabile casuale binomiale di Bernoulli

Variabile casuale binomiale di Bernoulli: π rappresenta la freq. rel. con cui si presenta il valore 1 e indica la proporzione di successi nella popolazione:

E(X) = ∑ Xi f(Xi) = 0(1 − π) + 1π = π

σ² = ∑ (Xi − π)² f(Xi) = (0 − π)²(1 − π) + (1 − π)²π = π(1 − π)

Popolazione Bernoulli n unità (0,1): P = (X1 + X2 + . . . + Xn) / n = X−, con 0 ≤ P ≤ 1

Se P è la proporzione campionaria di successi in un campione casuale di dimensioni n estratto da una popolazione di Bernoulli in cui la proporzione di successi è = π, valgono:

• Valore atteso: E(P) = π;
• Varianza: V(P) = σ²P = π(1 − π) / n;
• Sqm: SD(P) = σP = √(π(1 − π) / n).

n→∞ → X ~ Ber(π) N(0, 1).

ZP = (p − π) / √(π(1 − π) / n) → n→∞ N(0,1).

Ci si può riferire alla distrib. Normale anche nel caso della popolazione campionaria, solo quando sono soddisfatte le seguenti condizioni:

• N > 20;
• Nπ > 5;
• N(1 − π) > 5.

La stima puntuale.

Quando non si conosce il valore di π, per verificare le precedenti condizioni si può usare la proporzione osservata nel campione estratto, indicata con p.

La stima

Stima puntuale e stimatore

Stima puntuale e stimatore: schema

La distinzione tra stima puntuale e stimatore puntuale si può rappresentare in maniera schematica nel modo seguente.

►

p = (x1 + x2 + . . . + xn) / n

Campione casuale: 1, 2, …, n

Campione osservato: 1, 2, …, n

Stimatore media campionaria → X− = 1 / n ∑ Xi

Stima puntuale → x− = 1 / n ∑ xi.

Stimatore puntuale: T = stimatore

Stima puntuale: t = stima

θ = parametro da stimare

E(T) = 0

T correttodi θ è se n − E( ) = μ - media