Formulario fisica A,B

Vettori

Ax = A cos q

Ay = A sen q

tan q = Ax / Ay

A = sqrt((Ax)² + (Ay)²)

A = Ax i + Ay j

Moto rettilineo

Velocità media: v_m = Dx / Dt

Vel. istantanea: lim_Dt->0 Dx / Dt = dx / dt

Accelerazione media: a_m = Dv_m / Dt

Acc. istantanea: lim_Dt->0 Dv / Dt = dv / dt

Eq. del moto: s = s₀ + vt + 1/2 at²

Vettori

A_x = A cos θ

A_y = A sen θ

tan θ = A_x / A_y

A = (A_x² + (A_y)²)^1/2

A = A_x i + A_y j

Moto rettilineo

Velocità media: v_m = Δx / Δt

Vel. istantanea: lim_Δt->0 Δx / Δt = dx / dt

Accelerazione media: a_c = Δv_m / Δt

Acc. istantanea: lim_Δt->0 Δv / Δt = dv / dt

Eq. del moto: s = s₀ + vt + 1/2 at²

Moto nello spazio

Spostamento: s = x i + y j

Velocità: v = Delta s / Delta t = ((x1 - x0)i + (y1 - y0)j) / Delta t

lim Delta t -> 0 Delta s / Delta t = ds / dt

Accelerazione: a = Delta v / Delta t

lim Delta t -> 0 Delta v / Delta t = dv / dt

Moto parabolico

Posizione

{ x_f = (v0 cos theta0)t

{ y_f = (v0 sen theta0)t - 1/2 gt²

Velocità

{ v_x(f.i.) = v_x0 = v0 cos theta0

{ v_y(f.i.) = v0 sen theta0 - gt

v_x = D'[x] = v0 cos theta0

v_y = D'[y] = v0 sen theta0 - 2 1/2 gt^2-1

Equazione del moto

y_f = (tan theta0)x_f - (g / 2v0²cos²theta0) x_f²

Altezza max

h = v0² sen²theta0 / 2g

Gittata

G = v0² sen 2theta0 / g

Forza

Legge base

∑F = ma

Il segno di sommatoria indica tutte le forze esterne sul corpo. Riferito al RIF e tutte le altre Q

Componenti

∑Fx = max; ∑Fy = may; ∑Fz = maz

Fg = mg

Se sul corpo 1 agisce una forza F a causa del corpo 2 allora sul corpo 2 una -F a causa del corpo 1.

In formule: F_1->2 = -F_2->1

Forze di attrito

Fs = mus·u statico

Fd = mud·u dinamico

u è la forza perpendicolare che agisce sul corpo (frequente)

Nel moto circolare: ∑F = mac = mu²/r

Moto viscoso

a = g - b/m v

v = mg/b (1 - e^-bt/m)

b è un coeff. che dipende dal materiale/liquido

h = altezza

Resistenza (v>>0)

R = 1/2 D0 A v²

Forza gravitazionale

F = G₀ * m₁m₂ / d²

Legge di Hooke

F(molla) = -KΔx

Coulombiana

F = K_e q₁q₂ / d²

Energia e lavoro

Lavoro

L = F * Δx = F * s * Cos θ

Nel tuo spazio: L(x,y,z) = F_xΔx + F_yΔy + F_zΔz

Lavoro (2)

L = _x0^x1∫ F_x dx

Lavoro elastico

L = 1/2 K (x_f² - x_i²)

Teorema dell'energia cinetica (senza attriti)

L = E_K(fin) - E_K(iniz.)

Teo energia cinetica (con attriti)

L - ΣE(attrito) = E_K(fin) - E_K(iniz.)

Energia interna

E_INT = L(attrito)

Formula del prodotto scalare

F [F_x, F_y, F_z] . Δ [Δx, Δy, Δz]

Area sottesa del grafico della funzione

Potenza

P(media) = L / Dt

P(ist.) = lim_Dt->0 dL/dt = F lim_Dt->0 dx/dt = F·v

!! 1 kWh = 3,60·10⁶ J

Formule importanti

Prodotto scalare vettori: i·i = j·j = k·k = 1

i·j = i·k = j·k = 0

theta = 0^o -> Cos theta = 1

theta = 90^o -> Cos theta = 0

Energia potenziale

Lavoro ed energia Ug = mgh

Lg = Ug(ini) - Ug(fin) <=> L = mg(h_o - h_f)

Conservazione energia meccanica

EH(0) = EH(1) = EH(f)

[Ug + Ek]₀ = [Ug + Ek]_f

[U(elast) + Ek]₀ = [U(elast) + Ek]_f

In assenza di attriti

Sistema in moto

Sistema corpo-molla

Energia potenz. elastica

Uel = 1/2 Kx²

Relazione forza-potenziale

Uf = - ∫_xi^xf Fx dx + U0 <=> Fx = - dU/dx

Teorema "forze non conservative"

Q(lavoro) = -ΔE_mec = (K_i + U_i) - (K_f + U_f)

In presenza di forze esterne

Q(att) = Σ(K_i + U_i) - Σ(K_f + U_f) + Q(F est.)

Quantità di moto

Formula base: P = mV

Relaz. con la forza: ΣF = dP/dt

Conservazione quantità di moto: P = costante

Impulso

I = ∫_t0^tf ΣF dt = Δp

Quindi Δp = ΣF_m Δt

Forza media

Urti: elastico

P₁ + P₂ = A (costante)

K₁ + K₂ = B (costante)

Perfettamente elastico

V₁(ini) - V₂(ini) = -(V₁(fin) - V₂(fin))

V₁(ini) - V₁(fin) = V₂(ini) + V₂(fin)

Anelastico

p₁ + p₂ = costante

Come procedere:

• Esplicitare masse e/o velocità
• Sostituire nelle formula di K usando tutti gli altri dati

Completamente anelastico

P₁ + P₂ = costante

v_f = (m₁V₁(iniz) + m₂V₂(iniz)) / (m₁ + m₂)

Centro di massa

Posizione

X_CM = (sum m_i x_i) / (sum m_i)

Analogo con le coordinate y, z

Posizione vettoriale

r_CM = (sum m_i r_i) / (sum m_i)

Velocità

v_CM = (sum m_i v_i) / (sum m_i)

Accelerazione

a_CM = (sum m_i a_i) / (sum m_i)

Quantità moto e forza

p_tot = Mv_CM con M = sum m_i

sum F_est = Ma_CM = dp_tot / dt

Formula del razzo

Delta v = v_despousa ln (M_i / M_f)

Spinta istantanea = |v_espousa dM / dt|

Moto rotazionale

Angolo percorso

θ = l(arc) / r

Proporzione fondamentale

θ^grad : θ^rad = 180° : pi

Velocità angolare

ω(media) = Δθ / Δt

ω(ist) = lim_{Δt -> 0} dθ / dt

Accelerazione angolare

α(media) = Δω / Δt

α(ist) = dω / dt

Equazione del moto

θ = θ₀ + ωt + 1/2 αt²

Rapporto "angolare - tangenziale"

- v = rω

a = rα

Accelerazione centripeta

a_c = v² / r = r(ω)²

Momento d'inerzia

I = Σ m_ir_i²

Momento di una forza

Mf = rFsenθ = Fb

MF = F x r

Momento totale di una forza

ΣMf = Iα

Momento angolare

H_A = r x p = |r p| senθ

• Relazione tra i momenti Mr = dH_A/dt = d(vp senq)/dt = v senq dP/dt = v senq F = Fx r
• Condizione di equilibrio {ΣF = 0 => Non si sposta ΣM_F = 0 => Non ruota}
• Momento angolare di un corpo in rotazione M_A = I(w)
• Conservazione momento angolare ΣM_F = dL/dt = 0 -> dL = 0 -> L = costante.
• Potenza P = M_F(w)

Gravitazione

Legge di gravitazione universale

F = Gm₁m₂ / d²

G = 6,67 · 10^-11 N m² / kg²

Relazione Keplero sui corpi celesti

a³ / T² = K_S = GH_S / 4pi² <=> T² / a³ = 4pi² / GH_S

Energia totale

E = 1/2 mv² - G Mm / r = 1/2 G Mm / r

!! E_tot è la metà dell'energia potenziale gravitazionale

Velocità di fuga

V_f = sqrt((2GM_T) / R_T)

Moto oscillatorio

F = -kx

F elastica (molla)

Equazione del moto

x(t) = A Cos(ωt + φ) con ω² = k/m

Periodo

T = 2π/ω = 2π/√(k/m) = 2π√(m/k)

Frequenza

f = 1/T = ω/2π

Velocità

v = d[x(t)]/dt = -Aω sen(ωt + φ) v_max = ωA

Accelerazione

a = d[v(t)]/dt = -Aω²cos(ωt + φ) a_max = ω²A

Energia totale

E = 1/2 mv² + 1/2 kx² = 1/2 kA²

v = ± √(k/m (A² - x²)) = ± ω√(A² - x²)

Lunghezza equilibrio molla in ascensore

l = l₀ + (m/k)(g ± a_asc)

Moto del pendolo

Equazione

d²theta/dt² = - g/L theta con Sen theta ~ theta

Velocità angolare

omega = sqrt(g/l)

Periodo

T = 2pi sqrt(l/g)

Equazione completa del moto

x(t) = A sen(omega t + phi)

Elettrismo

Modulo della forza

Fe = Ke |q₁| |q₂| / d²

Ke = 1 / 4 pi Epsilon₀

Epsilon₀ = 8,854.10^-12 C² / N.m²

Campo elettrico

E = Fe / q₀

Campo elettrico da una carica puntiforme: E = Ke q / r²

Campo elettrico da più cariche puntiformi: E = Ke _∑ⁱ q_i / r_i²

Campo elettrico data la densità di carica: E = lambda / 2 pi Epsilon₀ r

E = sigma / 2 Epsilon₀

Se la superf. è aperta

Se chiusa vale il teo. di Gauss

Nel caso della rho si esplicita rho in funzione di sigmae si procede come se il solido avesse sigma sulla superficie esterna

Densità in carica

p = Q / V volumica

s = Q / A superficiale

l = Q / l lineare

Flusso con E uniforme

Φ(E) = E · A · Cos θ

Flusso con E non uniforme

Φ(E) = ∫ E dA

Il si intende la componente del campo normale alla superficie

Flusso con superficie chiusa

Teorema di Gauss: Φ(E) = ∮ E dA = Qint / E0

Energia potenziale

Ue = Ke q1q2 / r₁₂ = Fe / r

Potenziale

V = Ke q¹ / r_i

Con più cariche: Ue = Ke / 2 Σ q_iq_s / r_is

Somma algebrica di tutte le coppie

V = Ke Σ q_i / r_i

Differenza di potenziale

Delta V = Delta Ue / q₀ = - integ. da A a B E ds = - E integ. da A a B ds = - Edse uniforme

Differenza di energia potenziale: Delta U = q₀ Delta V = - q₀Ed

Relazione tra campo E e potenziale

div(V) = -E

E_x = dV/dx

E_y = dV/dy

E_z = dV/dz

Se c'è simmetria sferica nella densità di carica E_r = - dV(r)/dr lungo r

Potenziale di una distribuzione di carica

V = K_e integ. dq/r

dq = lambda de

dq = lambda dA

dq = rho dV

lineare

area

volume

Capacità

C = Q/Delta V

Formula generale: C = epsilon₀ S/d . epsilon_r

condensatore piano

C_eq = C₁ + C₂ + C₃ + C_k

coll. parallelo

1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + 1/C_k

coll. serie

Energia in un condensatore

U = 1/2 Q²/C = 1/2 Q Delta V = 1/2 C (Delta V)²

Densità di energia

Ue = 1/2 epsilon₀ E²

Corrente elettrica

Definizione

I = lim_Dt->0 (DQ/Dt) = dQ/dt

In un conduttore

I = nqv_dA

q = carica

n = n. portatori

Vd = V di deriva

A = area del conduttore

Densità in corrente

J = I/A = nqv_d

Resistenza

R = DV/I <=> DV = RI

R = rho l/A, con rho = rho₀ [1 + alpha (T - T₀)]

Resistività

Req = R1 + R2 SERIE

1/Req = 1/R1 + 1/R2 PARALLELO

Velocità di deriva

v_d = - (eE/mu_e) tau

Potenza

P = DV · I = RI²

Forza elettromotrice

fem > DV

fem = DV + DV(interna) = IR + Iv(int.) = I (R + v)

Carica del condensatore

q(t) = Q [1 - e^-t/RC]

I(t) = (emf/R) e^-t/RC

Ricorda: I(t) = D'[q(t)/dt]

Scarica del condensatore

q(t) = Q e^-t/RC

I(t) = - I₀ e^-t/RC

Magnetismo

Forza magnetica

F = qv x B = |q|vBsenθ

F = B x Iε = BIεsenθ

F = Bsenθ I ∫_a^b ds

se c è una curva

Campo magnetico

B = F / (|q|vSenθ)

B = µ₀I / 2&rpi;r

B = µ₀Iθ / 4&rpi;R

B = µ₀I / 2R

B x = µ₀IR² / 2(x² + R²)^3/2

B = µ₀IN / 2&rpi;r

B = µ₀I N / e = µ₀Iu

Definizione

Formula generale

Conduttore rettilineo a distanza r

Al centro di un arco avente raggio R e sottende un angolo θ (rad)

Lungo l'asse della spira

Lungo l'asse di una spira circolare: A distanza x dal piano della spira

Spira di raggio R

All'interno di un toroidale

All'interno di un solenoide

Momento meccanico magnetico

M = IA x B = IABsenθ

Momento di dipolo magnetico: M₀ = IA

H = M₀ x B

Forza per unità di lunghezza

F/e = μ₀/(2π) · I₁I₂/a

a = distanza tra i due fili conduttori

I₁ || I₂ attrattiva

I₁↑ I₂↓ repulsiva

Teorema di Ampere

∫B ds = μ₀Iconc

In generale, B si esprime: B = μ₀I/(4π) ∫ ds x r/r²

Flusso del B

Φ(B) = BA cosθ = ∫ B dA = B ∫ dA

se B = cost.

Relazione con la diff. di potenziale

feu = - dΦ(B)/dt = -BL

e = lungh. condutt.

v = vel. con cui si muove il conduttore

feu ≠ 0 se:

• Varia B
• Varia A
• Varia θ

Corrente indotta

I = BCv / R

Moto di una bobina immersa in un campo magnetico

fem = NABw sen(ut)

Densità di energia magnetica

muB = B² / 2mu₀