Formulario di Analisi Matematica II

Esercizio su massimi e minimi ­estremi liberi

∇f = 0 ⇒ punti critici. Hf(x,y) ⇒ det>0: pos (neg) = p.to di min (max) e indef. = p.to di sella. Criteri insufficienti ⇒ si annullano le rette.

Esercizio su massimi e minimi vincolati (uguaglianza)

3 tecniche:

• Si esplicita una variabile; si sostituisce nel vincolo nella funzione;
• Se il vincolo è una curva o superficie; si parametrizza;
• (Se f≠g nei punti di ∇g, moltiplicatori di Lagrange, si ricorre alla Lagrangiana: f(x,y)+λg(x,y)=0 ∇L=0 ); (punti critici: ) ⇒ sostituisci nel vincolo ⇒ f dei punti critici f max. f min.

Esercizio di Dini

Verifica ipotesi di Dini;

• g₁ e g₂ continue in A;
• g₁(x₀,y₀)=0 e g₂(x₀,y₀)≠0;
• gₙ continua.

f'(x) = -_{∂g₂(x₀,y₀)} / ∂g_₁(x₀,y₀) (ℝ³) Eq. retta tg a f in x₀, y-f(x₀)=-_{∂g₂(x₀,y₀)} / ∂g_₁(x₀,y₀) (x-x₀)

eq. piano tg a f in (x₀,y₀,f(x₀,y₀)):z-f(x₀,y₀)=-_{∂g₂(x₀,y₀)} / ∂g_₁(x₀,y₀) (x-x₀)-g_ₙ(x₀,y₀) / g_₁(x₀,y₀) (y-y₀)

Calcolare il polinomio di Taylor dell'implicita

2 tecniche: (dopo aver verificate le ipotesi di Dini)

• Sostituire le derivate nel polinomio: f(x)=f(x₀)+f'(x₀)x+¹ / ₂f''(x₀)x+(x²) con:

f'(x) = -_{∂gₙ(x₀,y₀)} / ∂g(y₀,y₀) f''(x) == _{[fxx(x,f(x)),fxy(x,f(x))(f(x))fyx(x,f(x))fyy(x,f(x))(f(x)) - [∂gx(f(x))]}- _{[fyx(x,f(x))(f(x)) + fyy(x,f(x))f'(x)] fy(x,f(x))]²}

• Si calcola il polinomio al 1° ordine esplicitando una variabile per poi sostituirla nel 2° ordine.

[La tecnica 1) vale solo fino al 2° ordine, la 2) solo se il punto è l'origine.

Esercizio su massimi e minimi - estremi liberi

∇f = 0 ⇒ punti critici. Hf(x_u,x_v) = z ⁰: def. pos (neg) = p.to di min (max) indef. = p.to di sella. Crit. insignificati: ⇒ cancellazione le rette.

Esercizio su massimi e minimi - vincolati (uguaglianza)

3 tecniche:

• Si si sostituisce una variabile esplicitata dal vincolo nella funzione;
• Se il vincolo è una curva o superficie, si parametrizza;
• Se ƒ≠0 nei punti di D_g moltiplicatori di Lagrange, si ricorre alla Lagrangiana: Lagrangiano(x₁,x₂...

∇f (x₀,y(x₀)) = ∇L(x₀,y(x₀))⇒ ∇f = ∇g + Σ∇h[y(x) = ƒ=0] (punti critici) ⇒⇒ ƒ dei punti critici ∇f(x) ⇒ f_max min f_min

Esercizio di Dini

Verifica ipotesi di Dini

• g_z e g_y continue in [A];
• g_x(x₀,y₀,z₀) ≠ 0 e g_y(x₀,y₀) ≠ 0;
• g_x continuo.

f'(x) = -^{g_x(x₀, y₀, z₀)}/_gy(x₀, y₀, z₀)(R³) Eq. retta tg a f in x₀.y - f(x₀) = -^{g_x(x₀, y₀, z₀)(x-x₀)}/_{gy(x0, y0, z0)}g(x, y, z) ≡ 0

Calcolare il polinomio di Taylor dell'implicita

2 tecniche: (dopo aver verificato le ipotesi di Dini)

• Sostituire le derivate nel polinomio: f(x) = f(x₀) + f'(x₀)x + ¹/₂ f''(x₀)x +o(x²)

con:f'(x) = -^{g_x(x₀, y₀)}/_{gy(x0, y0)} f''(x) = =^{[f_x(x,f(x))f_yf_y(x,f(x))f_y(x,f(x))f_y(x,f(x))]-f_yx(x,f(x))+f_yx(x,f(x))+f_y(x,f(x))f_c(x)]/_{[fy(x,f(x))]2}}

• Si calcola il polinomio al 1^o ordine esplicitando una variabile per poi sostituirla nel 2^o ordine.

La tecnica 1) vale solo fino al 2^o ordine, la 2) solo se il punto è l’origine.

Lunghezza di un arco di curva

Forma parametrica

x(t):=l(γ) = ∫_a^b√[ẋ₁(t)]²+[ẋ₂(t)]²+...+[ẋₙ(t)]² dt

Forma cartesiana

y=f(x)=> l(γ)=∫_a^b√1+[f'(x)]² dx

Forma polare

ρ=f(θ)=> l(γ)=∫_α^β√[ρ'(θ)]²+[ρ(θ)]² dθ

Integrali curvilinei di I specie

Integrale di una funzione f su una curva γ: ∫ f ds = ∫_a^b f(x(t),y(t),z(t),...,t)∥γ̇(t)∥ dt

Integrali curvilinei di II specie

Integrale di una forma differenziale lineare ω su una curva γ: ∫ ω = ∫_a^b [f₁ dx + f₂ dy + f₃ dz] = ∫_a^b [F₁(x(t),y(t),z(t))ẋ(t) + F₂(x(t),y(t),z(t))ẏ(t) + F₃(x(t),y(t),z(t))ż(t)] dt

Esercizi sui campi vettoriali

C.N. affinché un campo è conservativo: rot F =

Affinché F sia conservativo deve essere ∮ ^⊂F ⌐ v = 0 ∀δ∈D Fγ conservativo sse ∃U (potenziale) t.c.: ∇U=F

∫_a^b ∇U ∘ dr = U(b) - U(a)

Formule di Gauss-Green nel piano

Calcolo dell'area A di un dominio piano D:A(D)= ∫∫ dx dy = -∫_γ y dx + x dy = 1/2 ∫_γ x dy - y dx

N.B. Se: ❑= f(θ) (coord. polari), allora semplicemente: A(D)= ∫₀^2π 1/2 [f(θ)]² dθ

Area di una superficie

A(Σ)= ∫∫∥r_u∧r_v∥ du dv dove (Σ,r): T⊂ℝ²→ℝ³ è una sup.regolare

Integrale di una funzione f su una superficie Σ∫ f dσ = ∫∫ f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u∧r_v∥ du dv

Integrali tripli

A fette:∫∫∫ f dV = ∫∫ (∫ f dz) dx dy

A fili:∫∫∫ f dV = ∫∫ (∫_Base(x,y)) f dz dx dy

Flusso di un campo vettoriale

Φ= ∮_⊂ F ∘ n dσ (uscente) Φ= ∮ ∑_z F ∘ n dσ (entrante)

Teorema di Stokes

∫_⊂ rot F ∘ n dσ = ∮_⊂ F ∘ dr

Teorema di Gauss (divergenza)

∫∫ div F dx dy dz=∫∫∫Σ F ∘ n dσ

Prob. di Cauchy

Esistenza: \( f: \Omega \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) continua, \( \Omega \) aperto, \((t_0,y_0) \in \Omega\)

Unicità: Se \( f_y \) limitata in \(\Omega\) vale lipschitz.

Sol. locale: Se \( f \) continua in un intorno di \((t_0,y_0) \) ed è lips. localmente.

Sol. globale: Se la soluzione \( y(t) : I \rightarrow \mathbb{R} \) dove \( I : t_0 \le t \le t_1 \) con \( t

Sol. stazionaria: Se esiste \(\bar{t} \text{ c.t. } g_i(y+K) = 0 \) allora \( y = K \text{ è sol. staz.} \)

Si fa uso del tip.

P.D.C I° ordine lineari (e non)

A variabili separabili

\( y' = f(t)g(y) \rightarrow \frac{1}{g(y)}dy = f(t) dt \rightarrow \int_{y_0}^{y} \frac{1}{g(u)} du = \int_{t_0}^{t} f(s) ds \)

A coeff. variabili

\[ y'(t) = A(t)y(t) = B(t)\]

\[y(t) = y_0 e^{\int_{t_0}^{t} A(s) ds} + e^{\int_{t_0}^{t} A(s) ds} \int_{t_0}^{t} B(s) ds\]

Integrale generale eq. omogenee (a coeff. costanti)

Dal polinomio caratteristico:

\( 0 \) ha \( n \) soluzioni reali e distinti:

\[y(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} + ... + c_n e^{\lambda_n t}\]

\[e^{\lambda t} te^{\lambda t} ... t^{\alpha-1} e^{\lambda t} e^{\lambda t} te^{\lambda t} ... t^{\alpha-1} e^{\lambda t} ecc...\]

\( 2 \) ha \( 0 \)

\[e^{\alpha t} \cos \beta t, te^{\alpha t} \cos \beta t, ... t^{\alpha-1} e^{\alpha t} \cos \beta t\]

\[e^{\alpha t} \sin \beta t, te^{\alpha t} \sin \beta t, ... t^{\alpha-1} e^{\alpha t} \sin \beta t\]

Eq. differenziali non omogenee

\( \underline{y = y_0 + \tilde{y}} \) dove:

\[ y_0 = \] int generale omogenea associata

\[\tilde{y}\] = una soluz. particolare della non omogenea

• Metodo di similitudine \: a eq. del tipo: \[ g(t) = e^{\alpha t} ( p_m(t) \cos \beta t + p_n(t) \sin \beta t )\]

a cui si associa il num. complesso: \( \omega = \alpha + i \beta \). Detto \(\varphi(\lambda)\) il pol. caratt.:

\[\begin{align*}\tilde{y} &= e^{\alpha t} (K_0(t) \cos \beta t + K_2(t) \sin \beta t ) \\\tilde{y} &= t^s e^{\alpha t} (K _4 (t) \cos \beta t + K_p (t) \sin \beta t )\end{align*}\]

• Metodo di Lagrange: a eq. con base \[ u_1 ... u_p, \] si associa:

\[\tilde{y} = c_1(t) u_1 + c_2(t) \mu_2 + ... + c_n(t) u_n\] con:

\[c'_1(t) u_1 + c'_2(t) u_2 + ... + c'_n(t) u_n = 0\]

\[c'_1(t) u'_1 + c'_2(t) u'_2 + ... + c'_n(t) u'_n = g(t)\]