Formulario di Analisi Matematica II

Equazioni differenziali lineari

Equazioni lineari di primo ordine

\( y' + a(x) y = g(x) \)
\( y(x) = -\left( \right)\left( + () \right) = \left( \right) \)
\(\left( \right) = \left( \right) \int \int 0 0 0 0\)

Equazioni lineari del secondo ordine (n ≥ 2) omogenee (g(x) = 0)

\( y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 \) → \( p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_1\lambda + a_0 \)
1. \(\alpha \in \mathbb{R}\) è uno zero di \( p(\lambda) \) di molteplicità \( m(\alpha) = h \) → \( e^{\alpha x}, xe^{\alpha x}, \ldots, x^{h-1}e^{\alpha x} \)
2. \(\alpha+\beta i, \alpha-\beta i\) sono zeri complessi coniugati di \( p(\lambda) \) con molteplicità \( m(\alpha+\beta i) = m(\alpha-\beta i) = h \)
→ \( e^{\alpha x} \cos(\beta x), xe^{\alpha x} \cos(\beta x), \ldots, x^{h-1}e^{\alpha x} \cos(\beta x) \)
→ \( e^{\alpha x} \sin(\beta x), xe^{\alpha x} \sin(\beta x), \ldots, x^{h-1}e^{\alpha x} \sin(\beta x) \)

Equazioni lineari del secondo ordine (n ≥ 2) non omogenee

OSS: deg(0) = -1

Caso 1: g(x) = e^αxQ(x)

\( Q(x) \) polinomio con \( r = \deg(Q) \), \((0) \neq 0 \)
\( h = y(x) = x^h e^{\alpha x} S(x) \)
\( S(x) \) polinomio di grado \( r \) i cui coefficienti si determinano imponendo che tale funzione sia soluzione dell'equazione.

Caso 2: g(x) = e^αx[Q₁(x) cos(βx) + Q₂(x) sin(βx)]

\( Q_1(x) \) e \( Q_2(x) \) polinomi (solo uno può essere nullo), \( r_1 = \deg(Q_1) \), \( r_2 = \deg(Q_2) \), \( r = \max \{ r_1, r_2 \} \)
\( (0 + ) \neq 0 \)
\( h = y(x) = x^h e^{\alpha x}[S_1(x) \cos(βx) + S_2(x) \sin(βx)] \)
\( S_1(x) \) e \( S_2(x) \) polinomi di grado \( r \) i cui coefficienti si determinano imponendo che tale funzione sia soluzione dell'equazione.

Caso 3: Principio di sovrapposizione

\( y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) \)
\( g(x) = g_1(x) + g_2(x) \)
\( y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g_1(x) \)
\( y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g_2(x) \)
\( y(x) = y_1(x) + y_2(x) \)

\(( ) = \wedge = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) \bar{\bar{ }} \bar{ } | | \bar{ }| | | |( ) = = \bar{ } - \bar{ } | | + = | | | | | |\)