I numeri primi della successione di Fibonacci sono infiniti?

La dimostrazione della formula dei primi o il teorema relativo ha validità anche per i primi di

= + = +

p ( F ) p ( F ) 2 e anche p ( F ) p ( F ) 2

Fibonacci, per cui scriveremo con

n m

+

r r

k h k 1 k

∈ ∈ . Proprio per questa ultima formula abbiamo scritto la seguente tabella, che

, N e h , k

n m N

r r 0

se prolungata, permette di trovare sempre un numero primo di Fibonacci in funzione del suo

precedente e del numero di Fibonacci successivo a questo ultimo, cioè F1.

= +

( ( F ), F 1 ) IN ( F ) ( F ) 2

TABELLA PER LA DETERMINAZIONE DI E

p p p

m m

+

r r

k k 1 k

= +

( ( F ), F 1 ) IN ( F ) ( F ) 2 , con

p p p

n n

r r

h k h

r numero delle presenze (sempre dispari eccetto lo zero)

dei numeri di Fibonacci

p ( F ) e p ( F )

primi tra +

k k 1

p ( F ) e p ( F )

o primi e non, tra h k

0 1 3 5 7 9 11…

Alcuni modi per calcolare

{ }

∀ ∉

p ( F ) 2 ( p ( F ), F 1 )

m

r

k k

e analogamente per calcolare

{ }

∀ ∉

p ( F ) 2 ,

3 ( p ( F ), F 1 )

n r

h h

con p ( F ) al posto di p ( F )

h k

( ) ( )

+ +

( F ) 3 F 1 2 12 ( F ) 21

F 1 2

1 (F1)/2 p p

k k

+ +

2 ( F ) 4 F 1 ( 33 ( F ) 55 F 1 ) / 2

(riferito a 5) (rifer. a 9)

p p

k k +

( 88 ( F ) 144 F 1 ) 2

(riferito a 11) …

p

k

Attribuendo ad r il valore numerico indicato nelle due tabelle, il numero dei pari che vi sono tra

p ( F ) e p ( F ) p ( F ) e p ( F )

e tra si potrà calcolare rispettivamente con le formule

+

k k 1 h k

( )

= − ⋅ + ⋅

generali: ( 1 ) p ( F ) F 1 2 , (1)

m F F +

r r r 1

k

( )

= − ⋅ + ⋅

( 1 ) p ( F ) F 1 / 2 . (2)

n F F +

r r r 1

h

= − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = = p ( F )

Esempi: , con cui da si potrà

(( 1 ) ( F ) F 1 ) / 2 ( 4 1597 8 2584 ) / 2 27060 / 2 13530

p

m F F +

5 5 5 1 7

7

calcolare il primo consecutivo di Fibonacci che è

= + ⋅ = + ⋅ =

p ( F ) p ( F ) 2 1597 2 13530 28657 ; per l’esempio che segue si ha

m 5

8 7

= + = , quindi si ha

17711 28657 46368

F 24

= − + ⋅ = − + ⋅ = = p ( F )

con cui da si potrà

(( 1 ) ( F ) F 1 ) / 2 (( 28657 1 )

5 46368 8 ) / 2 514224 / 2 257112

p

n F F +

23 23 23 1 3

3

calcolare il primo successivo non consecutivo di Fibonacci che è

+ ⋅ =

= + ⋅ = 5 2 257112 514229

p ( F ) p ( F ) 2 . Lo stesso valore, soddisfacentemente

n

23

9 3 Φ

approssimato, è possibile ottenerlo con le sole cifre decimali di riportate sopra, così

= =

Φ 29 .

5 514229

F 29

Quindi, non solo è possibile ottenere con la seguente formula

= Φ r / 5

F r

un valore approssimato quanto si vuole di un numero primo di Fibonacci, essendo disponibili tutte

Φ

le cifre che vogliamo di , ma anche facendo uso della nostra seconda tabella e delle formule (1) e

(2). p ( F ) e p ( F )

Inoltre, appare evidente che le formule che danno rispettivamente funzioni di

+

k k 1

p ( F ), e p ( F ), sono dimostrabili in modo analogo al pari di quella di provenienza ( cfr.

n m

r r

h k

[ ] [ ]

1 2

e § 2 del ), e ciò prova che l’insieme dei numeri primi di Fibonacci, considerato l’ordine

2

attribuitogli, hanno, secondo Bolzano e Cantor , la potenza del numerabile, come è per i numeri

primi, per i naturali, per i relativi che sono infiniti, costituendo tutti degli insiemi equipotenti.

2 Ci sono due formulazioni ovvero due “filosofie” dell’infinito: la prima dice che possono esistere solo insiemi infiniti

in “potenza”, cioè insiemi finiti ai quali possono essere aggiunti sempre nuovi elementi, dovuta ad Euclide ed ancor