I numeri primi della successione di Fibonacci sono infiniti?

I numeri primi della successione di Fibonacci sono infiniti?

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Carolla Guido

Sunto. Con la presente nota si è cercato di dare una risposta al quesito in oggetto ricorrendo ad alcune originali considerazioni e ad altre già riportate in bibliografia.

I numeri primi di Fibonacci sono infiniti (come lo sono i numeri primi)? Per ogni primo di Fibonacci vi è un suo consecutivo (come accade per i primi in genere)?

È noto che la successione dei numeri di Fibonacci si ottiene, quando si esclude lo zero iniziale, con

= +

= =

≠ ∧ (i primi due sono per definizione ), da in cui si riferisce

1

r 1 2 F F F F

F F − −

r r 1 r 2 r

1 2

al numero di Fibonacci r-mo, cioè

F1 F1 F1 F1 F1

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711

F r

r ordine dei numeri di

Fibonacci 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 ,

h, k ordine primi di F.

1,2,3, 4, 5, 6, 7, =

L’elencazione prosegue col numero di Fibonacci , che essendo l’8° primo di Fibonacci

28657

F 23

=

si indica con p ( F ) 28657 , al quale segue immediatamente l’ numero non primo di

F 24

8

Fibonacci che si indica ed è F1=47368 per i motivi che sono meglio detti dopo.

Sotto ciascun , numero di Fibonacci, sono stati riportati i due diversi ordini ed i primi di Fibonacci sono stati sottolineati; come si noterà questi ultimi, eccetto il 3, hanno a loro volta un numero d’ordine che è anch’esso un primo; le F1 riportate sopra indicano i numeri di Fibonacci non

p ( F ) e p ( F )

primi consecutivi ai primi di Fibonacci, i quali ultimi indicheremo con , .

( F )

p +

k k 1

h Φ =

= Φ r

Inoltre, l’r.simo numero di Fibonacci è approssimato da con che è il

/ 5 lim F F

F −

r r 1

r → ∞

( ) r

+

numero aureo 1,61803398874989484820…, che si ottiene anche da , per cui essendo

1 5 2

noto un numero di Fibonacci è possibile calcolare con approssimazione il numero d’ordine con

( )

= + Φ

r log 1 2 log 5 / log

semplici passaggi dalla formula di cui sopra, cioè , (con log

F r

logaritmo a base 10) ad esempio, il numero d’ordine del numero di Fibonacci 233, come si può verificare, verrà uguale a 13 se si prenderà un numero adeguato di cifre decimali.

Detto ciò, la successione di Fibonacci può essere scritta in via approssimata quanto si vuole, come segue:

Φ Φ Φ Φ

1 2 3 r .

5 , 5 , 5 ,..., 5