Fondamenti di algebra lineare e geometria

Nozioni generali

(/TESTI e) )/Mood formativaandare libri→ duescegliereoffer ta teoria7- esercitiadeisu aed'del lezione materialecorsoDiario : esameecontenutaClapWO ALJECD(lezioni )pagina noodleregistrate

Implicazione logica

A> )SIMBOLO Bche( implica allora. .. tesiipotesifondamentale teoremicaso :a B Ba ( B) (B)( ) }nona aequivalea a non 3: >× )/ èA B =3✗,× =» ✗× i>nonB)(a) B)( laè pgdadiverso , × ,>= nonnonnonF F l' anti cedente falso l'è èse implicazione veroFFF implicazioneA doppiaaB BBsolo ase see = e

Funzioni

✓ U fI funzioneè da elemento VdiU ogniVin vienese-i . mandato diin elemento Uun" i,f è VU fcvtale )cheogni elementosuriettiva elemento c-n e almenoperse esiste =uvunf- immagineè iniettiva del hacodominio unahaelementose ogni soltantoche neuna pre finf- fivzè )hadominio V vi) v2sientrambiiniettiva elementi al chedi -appartenentise va V2 =ogni✗ coppia , f-f- f-)fini V →(funzione ) cheè funzioneV2OSSERVAZIONE èogni inV2= vi. garantiscev2un: per unase -

Numeri complessi

Segmenti dall'origine

Segmenti dall'SPICCATI ORIGINE lunghezzarapportot del dilunghettolala dtturrosegmento rossotra quelloe:)✓ & di "lf " /" "" "" ° °" ° ""② formato unitario: daangolo il segmentoconrilcherotazione unitariosegmentoporta su ra)( iunitario unitàlunghetto immaginariasegmentoi. = =-0it.li @NUMERO èdenota realesi ecomplesso numerocon non un=e => 1costante >r eo con%)È /@ eiCi cio ☒È +< )' ftp.rz-22 zG. -22rz composizione-21 = == r =. rz, .- ., didilatazione coefficienterzry =.☒ dell'-02 angelorotenone+ =

Esempio

ESEMPIO : i %2- z@= 45 '=è 2- ci È< 42- = . {è it> g.z =

Esercizi applicativi

Rappresentare e calcolare sul piano di ARGAND GAUSS i seguenti vettori:zei eiÈ ÈÉI ¢z = . È È è §" [ TÈ %% 32 z== . Il fattore due è la lunghezza del numero complesso in relazione a quella. , g dell’unità. Quindi sarà lunga il doppio del segmento unità di base.è L’Unità dei numeri complessi che si indica con 1 è un pedice D girato,2- in notazione esponenziale è stata da 1 per e^i (che moltiplica un angolopari a zero). Quindi poichè qualunque potenza come sponente zero fa1, ecco il valore del segmento unitarioci È ei? "1W w n= . . @È)/ÈÈ È)È )WZZ" } " "" + 1utz"" %(fa ( 1fg =@16= n = .- -. . i § IT@=2?È unità1. dell'1 1 rappresentazione=,

Nomenclatura

Dato un numero complesso z, nella forma esponenziale r*e^i(teta) ilMODULOcoefficiente r si dice di z è si denota con |z|. Nell’ambito deinumeri complessi non è un valore assoluto ma un modulo, la lunghezzadi un segmento che rappresenta quel modulo.-0È /il 1coefficienteData denotadisi dice Zr moduloz 2-sir= e. Dato z appartenente ai numeri complessiÈ diversi da zero, quindi non nulli esiste un** ÉZ 'E'' didenotatoEd tale cheE Z [e-EDato 1¢inZ zdettoesiste innumero ==un con . numero appartenente ai numeri complessi nonnulli e denotate con z^-1 tale che il prodotto=/ a complessinumeri di z per z^-1=z^-1 per z è uguale all’unità.

Esercizi applicativi inverso

Z^-1 è detto DI ZCalcolare e rappresentare sul piano i numeri tra parentesi I numeri complessi in notazione esponenziale non")Èlei2- hanno un modo solo per essere espressi.=" cit →= 1 Due numeri diversi elevati alla stessa potenza dallo lo stesso numero.Un numero e il suo opposto elevati al quadrato dammo lo stesso") =-3ÈÈ( numero nei reali, nel caso dei complessi la situazione è più52- =< complessaI "Ee-§ Z4 1za5 Z4lei È /=↳ ! ei ÉTLei E io'r.ci )'reio -( f. e-hasisara =cit ) 4(2- =¢ [ i 41Te a

Molteplicità di scrittura

ei "" qualsiasi K1 intero= per L’Unità dei numeri complessi è uguale alla rotazione di 0 °, di 2pi greco, di 6 pi greco…., )(ei @ eieieiei @ -12ktZITK a@2- =pr]r r== = .. ... . I numeri interi sono numeri naturali con segno, +-1, +-2…

Argomento principale

Un qualunque numero complesso z, che si scrive con r per e per i tetain notazione esponenziale deve essere uguale ad uno per se stesso.Uno elemento neutro)[l')( D-è angoloArg Einassociato modo1- che 0,21Tt aL’argomento principale è l’angolo associato a z in modo che questo angolo teta appartenga all’intervallo 0-2pi greco dove zero è escluso è più greco è incluso. L’argomentosarebbe l’angolo della notazione esponenziale, c’è ne sono infiniti quello principale è tra 0 e 2 po greco Per calcolare l’inverno con l’argomento)# ⑦è AITÀ PROBABILITÀ-0=0 { all'- principale se teta sta nell’intervallof. → ESAMEcalcolo ARGOMENTO PrincipaleINVERSO :CON con selezionato. Imparare a rappresentareun numero complesso conARGOMENTO PRINCIPALE

Considerando l’insieme dei numeri complessi non nulli, il prodotto di due numeri complessi è sempre un numero complesso.Tale prodotto è un’operazione BINARIA perchè combina una coppia di numeri per darne un terzo. Esiste un elementoNEUTRO rispetto al prodotto con 1 e per ogni complesso z esiste un numero e tale che wz = zw =1. Tale a si dice INVERSOdi z. Per il prodotto di numeri complessi vale la proprietà ASSOCIATIVA perchè a(bc)= (ab)c per ogni terna a,B,c di numeri Questa formula si usa solo nel casodell’inversocomplessi, vale inoltre la proprietà commutativa che rende questo insieme un gruppo sbeliano

Definizione

DEFINIZIONE ( )chiamiamo èèdoveSTRUTTURA insiemeALGEBRICA G # G G*e• coppia un' operazione auna internaun,* datiG di l'chetaleun' seguentidotato binaria diceinsieme operazione G G le• GRUPPOgain elemento valgonosiun appartenga#e ag segg, , ,proprietà : ① ¥9192,9 (9*92)*93=9,1*(92*93)G haAssociativa in si: ,Eveesistenza Anche i numeri reali sono un gruppo commutativo ma i numeri=② 7 VTGEGG 16*9--9*74=9NEUTROMENTO chetaleelemento 1g eun complessi rispetto ai reali hanno una cosa dove seono piùpotenti. Hanno una caratteristica molto più importante③ ' '"G7GEG g- tale g-cheINVERSO 1g: c- = =gg ovver.o:l’insieme dei numeri complessi non nulli è chiusog rispetto all’estrazione di radice n-ennesima. Per ogni numerovaleinoltrese complesso posso ricavare le radici, ma nei numeri reali le radicidei numeri negativi non sono calcolabili, per i complessi si può④ ¥9192 GC- hasi 9<=92*9COMMUTATIVA gn calcolare qualunque radice di grado n.# ,il dice ABELIANOsiallora COMMUTATIVOgruppo oppureÈ )l' (OSSERVAZIONE moltiplicazione èdotatocomplessi nulli dellainsieme commutativoun gruppo: non L’Unità possiede sempre tante radici.deve essere☒ un numero complesso che elevato alla n deve dareè¢l' all' radicedirispettoinsieme estrazionechiuso esiman - 1. Per cui come modulo è sempre 1. Ma comeangolo posso prendere 2 pi greco/n. Questo se loelevo alla n mi da 1.èè seiF- K"èÈ 2÷ -1-1 ±K o-con -, , , , . ..I ci)/ <"Ci È " casi^ il'= sarebbefino Ken 1T→aKeo -1con n1,2 con, .... fuori l' intervallo

Radice ennesima

ENNESIMARADICE 4=3 Git =pz nn ti = "= -K KZ=\Iite. KaKK 3-2 K o- - ]tto KK =3 4-È ÈZITK È/" K unitàdell'leK radici seste6sono0,1== en -., . . ENNESIMA DIRADICE 2ESTRAGGO

Formula di De Moivre

FORMULA DI DE MOIVREion " " Serve a calcolare le radici ennesime di qualsiasi numero complesso¥-0r.ie èr.ci ?' )-0è [D-" ena v. = r ea.= qui= . - scritto in notazione esponenziale.)¥-1(ei K" Kognir 0,1= -1ti. =per ,.., .MODULO RADICIPERFORMULA LETROVARE

Esercizi applicativi

ESERCIZI APPLICATIVIfq.ci/I-+E'tk=z.eiE'tk4eijI2 )K-1=-3(i #È i} 3 ITKeiit gg. = @@ z. . )È'/ZÈTK) ) K 2¥5 5 # TK( Zgittjeitk 5i/ è5'f-ei ' 52Èei Git -1' -z = z =e 2.=z @ ,. ..

Somma di numeri complessi

SOMMA DI NUMERI COMPLESSIEÉ Si tratta di una somma0 ABELIANA quindiCARTESIANARAPPRESENTAZIONEE→ E commutativaE )Reit ) InraIÉ z = ;ZeÈZz Andiamo a calcolare le componenti,ÈZi BN - . COMPONENTE ORIZZONTALE: PARTE REALE DI ZRett) PARTE REALE COMPONENTE VERTICALE: PARTE IMMAGINARIA DIZcon queste due parti Formiamo la RAPPRESENTAZIONEESERCIZIO APPLICATIVO CARTESIANA. DESCRIVIAMO Z con le sue coordinate.La parte reale è quella immaginaria sono numeri reali.Possono essere positivi o negativi ma sono numeri reali-Ez ( )ba{Zn 2- an= =i ,, § ( ){ baZz2- al= =< , ,)( )(1+53) ) -1-22=14+22Ttt( bntbz{{ Z-1722- = ,a , ,) i(1-RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA = 1,0[ -7 4( )introdurre 0¢ elemento neutro alla0,0 somma= rispposso : .) ib) fa( b2-2-ogni esistea.=per =- -, -

Rappresentazione esponenziale

Supponiamo di avere un segmento, raggio di unacirconferenza, questo segmento avrà lunghezza r, uneeiit numero reale positivo e creerà un angolo sull’asseESPONENZIALE→ ROTAZIONE= orizzontale. Le funzioni seno e coseno sono definite dallea)f l' unitàdell'7- ] opposto=- ¢ , proiezioni sull’asse orizzontale e sull’asse verticale diquesto segmento. La proiezione sull’asse orizzontale a, èFi"" icoefficiente immaginario - uguale ad r per il coseno di teta, quella sull’asse B, sarà rper il senso di teta.ÈÈÈ )(" iRAPi CART 0,7:|= ==- .Èei " )i iloFi n-= ; -=- Sono funzioni periodiche, 0-2pi greco. Il modulo moltiplica seno ecoseno, possiamo quindi considerare una circonferenza di raggio 1,FUNZIONI SENO E COSENO in modo che la r non compaia. La funzione coseno è una FUNZIONETRASCENDENTE, calcolabile punto per punto. Ci sono alcuni punti incui è bene conoscere il valore della funzione in maniera precisa. Laforma della funzione seno viene traslatava destra di pi greco mezzi.ÈE- =Lcosa✓ COSEa. sin =1= = , ElisinaD= Egsin =cosb 2r 0 ¥ =Lsinecos =1 21 a 6- AMATE COSENO= 1 I 1o I { TI 21TIT2IEMITSU SENO= 1-

Calcolare parte reale & immaginaria

CALCOLARE PARTE REALE & IMMAGINARIALa parte reale di z, è uguale ad r per il coseno di teta, r è il modulo di zeta e teta è l’argomentoprincipale. Quindi modulo di zeta per l’argomento di Zeno. Per trovare la parte immaginaria dir.ci -0 larghi)Retz) cosa 12-1 usa invece il seno. Queste formule ci permettono di passare dalla rappresentazionez r-= cos= -- esponenziale alla rappresentazione cartesiana.)INIZI r-sina-lzt.sn/argl7l= Da esponenziale a cartesiana è possibile tramite leformule scritte precedentemente.☒ )c') (( ) cartesianaINIZIRett coordinate rcoso.rs/n0-→Da→ allaesponenticar tesiane r2- :;= -.)( 'IR modulo-152 o r;D b Da /IZC- ad2- esponenzialea car tesiana = aa. := , Da cartesiana ad esponenziale, dobbiamo trovare{ quanto vale il modulo di z, che è effettivamente laI./ cosa2-a = lunghezza di un segmento, che nel piano cartesianoArgARGOMENTO 0 si trova con il teorema di Pitagora. Per trovareD= IZI Sina- l’argomento dobbiamo risolvere un sistema diequazioni; come quello a lato.ci ①alibi ① ( )2- soluzione dell'= argomento sistemocon.

Rappresentazione algebrica

RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICAb)) la( 11,0) )-1510,11¢ vederlo a2-se= 1,0 == comeposso, Ci sono ben altre sue rappresentazioni, abbiamo visto quellaIo )i. b. i grafica, quella esponenziale è quella cartesiana. Tuttavia esiste1¢a. -1= ] =, anche una rappresentazione algebrica. Ricordiamo cheib possiamo rappresentare L’Unità dei numeri complessi con ia += numeri (1;0) e poi possiamo rappresentare L’Unità immaginaria i,) in notazione cartesiana con la coppia (0;1).Retz Innlz) i inidi 1-giadapolinomio+=

Esempio

ESEMPIO : (3+41)=55)( il 1) Se z in notazione cartesiana è uguale alla coppia a,b, questo possoi2- + + -I vederlo come il numero reale a che moltiplica componente perI componente la coppia 1, 0 + il numero reale B che moltiplica la coppia= 5 - 0,1. C’è un prodotto dello scalare per ognuna delle componenti dellaQuando abbiamo una potenza pari della i, coppia.è questo da esattamente la coppia a,b.( 5) (3+41)=2.3--153+2 4i-i5.iqi2- questa finisce in un numero reale, se la-I potenza è dispari si varrà qualcosa di!iii - |7.6 -20= proporzionale ad i. Tutte le potenze pari-- diventano numeri reali. La rappresentazione algebrica di z è uguale ad a per 1 + i volte B. Significai26 7-= - parte reale di zeta + i volte la parte immaginaria di zeta. La rappresentazionealgebrica descrive co,e poi nomi di grado 1, in i, come se i fosse l’incognita, ilcoefficiente del termine di grado 1 in i è la parte immaginaria. Questa notazioneè comoda per i prodotti e non solo per le forme.

Rappresentazione trigonometrica

RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA) La rappresentazione trigonometrica è un’ulteriore rappresentazione, che prende la rappresentazione)Retz (i.rs/-n0 r=lz V0- Argl7)usanor=-zle0-=ArgH-11m cosa2- f.= -1=t algebrica e scrive la parte reale ed immaginaria in funzione di r e teta. Unisce proprietà dellarappresentazione algebrica in quanto si ha