Fondamenti di algebra lineare e geometria

Spolaore Riccardo 1° anno Ingegneria Aerospaziale

Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria – FALG

Riferimento pagine – Francesco Bottacin FALG

Prof. Alessandra Bertapelle

Sommario

• Nozioni di base di algebra .................................................................................................................................................................. 1
• Applicazioni lineari e matrici ................................................................................................. Errore. Il segnalibro non è definito.
• Algoritmo di Gauss (operazioni elementari) ................................................................................................................ 5
• Sistemi lineari ............................................................................................................................................................................................. 6
• Operazioni con le matrici ................................................................................................................................................................... 6
• Tipologie di matrici ................................................................................................................................................................................. 9
• Ortogonalità e ortonormalità ............................................................................................................................................... 12
• “Spazi” di lavoro ...................................................................................................................................................................................... 13
• Isometrie ....................................................................................................................................................................................................... 14
• Determinanti ............................................................................................................................................................................................. 15
• Autovalori, autovettori e autospazi relativi agli autovalori ...................................................................... 15
• Richiami di algebra – i numeri complessi ............................................................................................................................. 16
• Esercizi e procedimenti ..................................................................................................................................................................... 17
• Spazi affini euclidei ............................................................................................................................................................................. 18
• Distanze nel piano e nello spazio ........................................................................................................................................ 22

Nozioni di base di algebra

Vettore: segmento orientato nello spazio dotato di direzione, verso e lunghezza (o modulo: |>|). Il prodotto vettoriale di un vettore per sé stesso è nullo. Vettori liberi possono essere generatori.

Versore: vettore di lunghezza unitaria, ossia con norma 1 (‖>‖ A 1).

Vettori equipollenti: vettori che hanno stessa direzione, stesso verso, stessa lunghezza (dunque sono contenuti in due rette parallele).

Applicazione lineare suriettiva: quando la dimensione dell’immagine è pari alla dimensione dello spazio di arrivo, ossia il codominio (CDEF A CDEG). Se CDEF H CDEG, f non è mai suriettiva. Se un’applicazione lineare è suriettiva allora tutte le sue anti-immagini sono NON vuote.

Applicazione lineare iniettiva: quando la dimensione del nucleo è nulla, ossia: J K LM(N) A dim(ker) A 0

Se CDEF Q CDEG l'applicazione lineare non è iniettiva.

Note: Se CDEF A CDEG l'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva.

• Vettore geometrico: è una classe di equipollenza di segmenti orientati.
• Vettore per uno scalare (moltiplicazione): > ∗ λ A λv A vλ.

Casi possibili in base alla natura dello scalare

• 1) λ Q 0, stessa direzione, stesso verso e lunghezza moltiplicata per λ.
• 2) λ A 0, vettore che si riduce a un punto.
• 3) λ H 0, vettore che mantiene la stessa direzione ma cambia verso e la lunghezza risulta moltiplicata per λ.

Proprietà

• 1) (λμ)v A λ(μv)
• 2) λ(u + v) A λu + λv
• 3) (λ + μ)v A λv + μv
• 4) 1vAv

In pratica: il prodotto per uno scalare avviene moltiplicando tale scalare λ per ogni elemento costituente il vettore.

Somma tra due vettori: X + Y A Y + X. Rispetta la regola del parallelogramma. L’elemento neutro è il vettore nullo.

Vale la proprietà associativa e commutativa.

In pratica: la somma tra due vettori avviene SOLO SE entrambi hanno la stessa lunghezza (stesso numero di elementi) e la si ottiene sommando gli elementi nella stessa posizione.

Spazio vettoriale: è un insieme non vuoto che rispetta le operazioni di somma e prodotto per uno scalare precedentemente definite e ha le seguenti proprietà:

• 1) (> + X) + Y A > + (X + Y)
• 2) > + X A X + >
• 3) Esiste elemento neutro: 0 A vettore nullo.
• 4) Esiste l’elemento opposto di ogni vettore, dunque dato un vettore ">", ∃ " K >" ∀ >.
• 5) 1vAv.
• 6) λ(u + v) A λu + λv
• 7) (λμ)v A λ(μv)
• 8) (λ + μ)v A λv + μv

N.B: gli elementi di uno spazio vettoriale sono chiamati vettori e gli elementi del campo “K” sono detti scalari.

Scalare: elemento del campo K di valore puramente numerico, non è una grandezza vettoriale.

Sottospazio vettoriale: equivalente ad uno spazio vettoriale solo che è una sua restrizione. Valgono dunque le operazioni di somma e prodotto viste precedentemente.

Combinazione lineare: somma finita del tipo: λ v + λ v + ⋯ + λ v ^ ^ _ _ a a

N.B: l’INTERSEZIONE di sottospazi vettoriali è sempre un sottospazio vettoriale, NON vale lo stesso per l’UNIONE.

Somma di sottospazi vettoriali: G + F A {Y + >} per ogni v e w. Analogo per un numero finito di sottospazi vettoriali.

Somma diretta: due sottospazi sono in “somma diretta” se la loro intersezione è vuota. Quando questo accade si dice che la loro intersezione è “banale”.

Scrittura unica: ogni vettore appartenente alla somma diretta di due sottospazi vettoriali G e G si può scrivere in modo unico nella forma: > A Y + Y ^ _

Generatori: un sottoinsieme di uno spazio vettoriale si dice insieme di generatori se il più piccolo sottospazio generato da V è uguale a V.

Insieme libero: è un sottoinsieme in cui una combinazione lineare finita di elementi dà come risultato il vettore nullo (0) SE E SOLO SE tutti gli scalari λ sono nulli. Ossia: > λ + > λ + ⋯ + > λ A 0. ^ ^ _ _ a a

Vettori linearmente dipendenti: se e solo se uno di essi può essere scritto come combinazione lineare dei restanti. Ossia: > λ + > λ + ⋯ + > λ A > λ ^ ^ _ _ a a h h

Vettori linearmente indipendenti: se essi NON sono riscrivibili come combinazione lineare degli altri, dunque essi costituiscono un insieme libero.

N.B: se S è un insieme libero, i suoi vettori sono linearmente indipendenti. Dunque dei vettori sono linearmente INDIPENDENTI, SE E SOLO SE l’equazione è un insieme libero.

Base (di V): è un insieme libero di generatori di uno spazio vettoriale V. In altri termini, è un insieme di vettori linearmente indipendenti i quali, essendo generatori, generano V.

Osservazioni

• Una base è un insieme ordinato {>1, dunque: > A >2} ≠ > A {>2, >1}. j
• I vettori linearmente indipendenti possono essere inferiori in numero dei generatori di V.
• Se dei vettori sono linearmente indipendenti, essi sono anche un insieme di generatori.

Dimostrare lineare dipendenza/indipendenza

(faccio un esempio in l _)

Consegna: Dati due vettori >, Y ∈ l tali che: > A (1,2) e Y A (5,1) dimostrare che formano una base di l . Trovare inoltre le componenti di X A (11,4) rispetto tale base. _

Per far ciò devo dimostrare che sono linearmente indipendenti (1) e che sono anche generatori (2).

In generale in dovrò verificare λ , λ siano A 0. l

1) Devo risolvere un sistema per cui le soluzioni a ^ _ che l’unica soluzione sia per dimostrare l’Indipendenza linearen A n A n A 0 . ^ _ a

)(λλ > + λ Y A 0 → λ (1,2) + λ (5,1) A (0,0) → + 5λ , 2λ + λ A (0,0) → ^ _ ^ _ ^ _ ^ _

λ A K5λλ + 5λ A 0 λ A0 → p → p→ p ^ _^ _ ^

2λ + λ A 0 2(K5λ ) + λ A 0 λ A 0 ^ _ _ _ _

Indipendenza lineare dimostrata!

2) Dovrò risolvere un sistema analogo a prima solo che con dei termini noti r, s come soluzione. I vettori di partenza sono dei generatori se per trovo un’opportuna combinazione lineare, n , n ^ _ qualsiasi siano i termini noti a e b.

(λ )λ > + λ Y A (r, s) → λ (1,2) + λ (5,1) A (r, s) → + 5λ , 2λ + λ A (r, s) → ^ _ ^ _ ^ _ ^ _

λ A uvwxλ A r K 5λλ + 5λ A r ^ → p → t→ p ^ _^ _ y

2λ + λ A s 2(r K 5λ ) + λ A 0 λ A _xwv ^ _ _ _ _ y

Ho dimostrato che i vettori dati sono generatori!

Ora per trovare le componenti di X A (11,4) rispetto quella che ho verificato essere una base, λ A λ A A1uvwx u∗zw^^^ ^ sostituisco: r A 11, s A 4 alle due equazioni appena trovate. Ossia: t At . y y

λ A A2λ A _∗^^wz_xwv __ yy

λ > + λ Y A X → 1> + 2Y A X → 1(1,2) + 2(5,1) A (11,4).

Dunque: ^ _

N.B: se in uno spazio vettoriale l dimostro che i vettori linearmente indipendenti in questo spazio a sono esattamente “n” (ad esempio che nello spazio l sono esattamente 4 i vettori linearmente z indipendenti) posso dire che essi formano anche una base senza verificare che essi siano generatori.

Nell’esempio di prima, avendo dimostrato che quei due vettori sono linearmente indipendenti in l _ potevo dire che essi formassero una base senza dover controllare il fatto che fossero generatori. Questo è enunciato da un teorema!

Se devo completare una base, ad esempio in l { , una volta dati due vettori: > A (1,2,3) e Y A (2,0,3) devo cercare un vettore che sia linearmente indipendente ad essi. Ne prendo dunque uno A CASO poiché è quasi impossibile prenderne uno che appartenga al piano generato dai primi due.

Prendo ad esempio X A (0,0,1) e verifico l’indipendenza lineare tra questi tre vettori. Se essa non fosse verificata dovrei cambiare il vettore scelto casualmente. In questo caso però essi sono linearmente indipendenti.

CONSIGLIO: meglio scegliere sempre un vettore “facile” magari appartenente alla base canonica.

Altro sistema di verifica di indipendenza/dipendenza lineare

Verificare se i vettori: > A (1,2, K1,1,1), Y A (1,2, K1,0,0), X A (0,0, K1,1,0), | A (3,6, K3,3,3), del sottospazio di l u sono linearmente indipendenti.

Noto subito che il vettore “|” è combinazione lineare degli altri poiché ho | A 3> dunque tolgo già il vettore | e verifico l’indipendenza lineare solo per gli altri 3:

λ + λ A 01 0 01 ⎧ ^ _

2λ + 2λ A 02 2 0 0 ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ^ _

Kλ K λ K λ A 0λ + λ + λ A →K1 K1 K1 0⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ^ _ {^ _ {

λ +λ A01 00 1 ⎪ ^ {

00 01 ⎩ λ A 0⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^

Essendo che trovo che tutti i lambda sono 0, ossia: λ A λ A λ A 0; ho che questi tre vettori sono ^ _ { linearmente indipendenti. Inoltre posso dire che ∘(>, Y, X, |) A ∘(>, Y, X) ha dimensione 3 inoltre (>, Y, X) formano una base e quindi: ‰(>, Y, X).

Base canonica: {Š , Š , … , Š } tale che: ogni elemento è nullo tranne l’n-esimo che è uguale a 1. ^ _ a

Base canonica (dello spazio vettoriale dei polinomi): {1, Œ, Œ , … , Œ } _ a

Coordinate: sono gli scalari che moltiplicano ogni vettore di una base.

Spazio vettoriale finitamente generato

Uno spazio vettoriale V è finitamente generato se esiste un insieme finito di generatori di V.

N.B: ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette ALMENO una base.

N.B: due basi qualunque dello stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.

Dimensione: è il numero di vettori di una base di V ed è indicato con: dimV.

In un sistema omogeneo, per una matrice di ordine E × J, tale matrice ha: dim(N) A J K LM(N).

Nel caso in cui si cerchi lo spazio dei generatori delle righe di una matrice è: dim(N) A LM(N).

Lo spazio vettoriale nullo ha: dimVA0.

• Ogni sottospazio si uno spazio vettoriale V finitamente generato ha dimensione minore o uguale alla dimensione di V. Se verifica solo la disuguaglianza H e non A allora esso è definito come sottospazio proprio.
• Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato. Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato a una base. Cioè esistono dei vettori tali che se aggiunti ad un insieme formano una base. (pag.26)

Legame basi, generatori e indipendenza lineare: Se dei vettori sono linearmente indipendenti allora essi sono anche dei generatori di V e dunque formano una base. Una base è sempre formata da dei generatori ma un insieme di generatori non sempre forma una base.

N.B: Se V ha dimensione n: dimVAn; allora ogni base di V deve avere n elementi.

Formula di Grassmann: dim(G + G A CDEG + CDEG K dim (G ∩ G ) ^ _ ^ _ ^ _)

Sottospazio complementare: Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato, per ogni sottospazio G è possibile trovare il suo complementare G′ tale che: F A G + G′ e G ∩ G A {0}. j

Dunque due sottospazi complementari sono SEMPRE in somma diretta.

Prodotto matrice per scalare: moltiplicare una matrice per uno scalare significa moltiplicare ogni elemento appartenente a tale matrice per quello scalare.

Applicazioni lineari e matrici

Funzione additiva: se •(>1 + >1) A •(>1) + •(>2).

Funzione k-lineare: se soddisfa: •(n>) A n•(>).

Omomorfismo: funzione lineare tra due spazi vettoriali distinti (•: F ⟶ G).

Isomorfismo: se è un omomorfismo ed è invertibile con la funzione inversa che sia lineare.

N.B: se l’omomorfismo è biiettivo, esso è un isomorfismo. L’isomorfismo è un’applicazione lineare suriettiva.

Monomorfismo: se è un omomorfismo solamente iniettivo.

Epimorfismo: se è un omomorfismo solamente suriettivo.

Endomorfismo: se è un omomorfismo di uno spazio vettoriale di se stesso (•: F ⟶ F).

N.B: in un endomorfismo, se un’applicazione lineare è iniettiva (ossia ker(f)A0) allora essa è necessariamente suriettiva e dunque biiettiva.

Automorfismo: se è un endomorfismo invertibile.

Spazi vettoriali isomorfi: 2 spazi vettoriali sono isomorfi SE E SOLO SE essi hanno la stessa dimensione.

Nucleo: data •: F ⟶ G una funzione lineare, il nucleo è l’insieme: MŠL(•) A {> ∈ F| •(>) A 0}.

Una funzione f è INIETTIVA SE E SOLO SE ker(f) A 0

Immagine: data •: F ⟶ G una funzione lineare, l’immagine è l’insieme: ’E(•) A {Y ∈ G|Y A •(>)}.

Il nucleo è uno spazio vettoriale di V mentre l’immagine è uno spazio vettoriale di W.

• Una base dell’immagine è generata dalle immagini dei vettori di una base del dominio.

Formula Nullità + Rango: J A CDE(F) A CDE [MŠL(•)] + CDE [’E(•)]

Con: dim [ker(•)] A JX––D—à A JX––(•); dim[’E(•)] A LrJñ™ A LM(•).

Dunque la formula è riscrivibile come: JX––(•) + LM(•) A CDE(F)

OSSERVAZIONE IMPORTANTE: il rango è facilmente ricavabile, basta infatti ridurre una matrice in forma scala e si vede il numero di Pivot. Per calcolare la dimensione del nucleo basterà fare: n K rango.

Rango: esso rappresenta il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti di una matrice ossia il numero di righe non nulle di una matrice ridotta in forma a scala. Il rango è dunque pari al numero di pivot di una matrice.

Proprietà

• 0 ≤ LM(N) ≤ min (E, J) ossia: il rango di una matrice NON PUÒ MAI essere maggiore del numero di righe o colonne della matrice. N righe, m colonne.
• Se A è una matrice quadrata di ordine n e LM(N) A J, A è invertibile.
• rk(righe) A rk(colonne) ossia che il rango per riga è uguale al rango per colonna.
• rk(sottomatrice) ≤ rk(matrice) data una matrice A e una sua sottomatrice, il rango della sottomatrice non potrà MAI essere superiore del rango della matrice.

Algoritmo di Gauss (operazioni elementari)

L’algoritmo di Gauss ci permette di ricondurci da una matrice A alla stessa matrice in forma a scala tramite delle operazioni sulle righe di tale matrice.

Le operazioni consentite sono le seguenti:

• -