Dimostrazioni Fondamenti di algebra lineare e geometria

Dimostrare che l’intersezione di sottospazi è un sottospazio

1) Dimostrare che dati U, W sottospazi di uno stesso K spazio vettoriale V allora l’intersezione U∩W è un sottospazio di V.

Dimostrazione

U ⊆ V, W ⊆ V

1. 0 ∈ U perché U ⊆ V
2. 0 ∈ W perché W ⊆ V
3. ⇒ 0 ∈ U ∩ W
4. z₁, z₂ ∈ U
5. z₁ + z₂ ∈ U perché U ⊆ V
6. z₁, z₂ ∈ W
7. z₁ + z₂ ∈ W perché W ⊆ V
8. ⇒ z₁ + z₂ ∈ U ∩ W

Preso v ∈ V e a ∈ ℝ

z · a ∈ U perché U ⊆ V

a · v ∈ W perché W ⊆ V

⇒ a · v ∈ U ∩ W

Enunciare e dimostrare la Formula di Grassman

2 Enunciare e dimostrare la Formula di Grassman

Dimostrare che l’intersezione di sottospazi è un sottospazio

1) Dimostrare che dati U, W sottospazi di uno stesso K spazio vettoriale V allora l’intersezione U∩W è un sottospazio di V.

Dimostrazione

U ⊆ V, W ⊆ V

1. {0_V ∈ U perché U ≤ V 0_V ∈ W perché W ≤ V ⇒ 0_V ∈ U ∩ W
2. {z₁, z₂ ∈ U z₁+z₂ ∈ U perché U ≤ V z₁, z₂ ∈ W z₁+z₂ ∈ W perché W ≤ V ⇒ z₁+z₂ ∈ U ∩ W

Preso v ∈ V e a ∈ R

{a.v ∈ U perché U ≤ V a.v ∈ W perché W ≤ V ⇒ a.v ∈ U ∩ W

Enunciare e dimostrare la Formula di Grassman

Enunciato

Sia V un K spazio vettoriale e U, W ≤ V allora

dim(U+W) = dim U + dim W - dim (U ∩ W)

Dimostrazione

B_U∩W = {u₁, ..., u_m} dim U ∩ W = m

Completo U∩W per creare una base di U

U = {u₁, ..., u_m, u_m+1, ..., u_r} dim U = r

Analogamente completo U∩W per creare una base di W

W = {u₁, ..., u_m, u_m+1, ..., w_s} dim W = s

Basta dimostrare che U ∪ W è una base di U + W

dim V = m + (r - m) + c = m + r - m + s - m dim V = dim U + dim W - dim(U ∩ W)

U∪W per essere base di U+W deve soddisfare 2 punti

• U∪W sia formato da generatori di U+W
• I vettori di U∪W siano lin. indi.

La i) è semplice perché i vettori u ∈ U possono essere scritti come comb. lin. dei vettori della base di U

Analogo per W

ii) Sono lin. indie. ne

α₁ · v₁ + … + α_m · v_m + β_m+1 · u_m+1 + … + β_r · u_r + Θ_m+1 · w_m+1 + … + Θ_s · w_s = 0 (*)

Questo è possibile sse α, β, Θ = 0 per qualsiasi valore

Pongo:

v := α₁ · v₁ + … + α_m · v_m ∈ U ∩ W

u := β_m+1 · u_m+1 + … + β_r · u_r ∈ U

w := Θ_m+1 · w_m+1 + … + Θ_s · w_s ∈ W

Da (*) sappiamo che v + u + w = 0

w = - v - u v ∈ U, w ∈ W, u ∈ U, w ∈ W

Di conseguenza w ∈ U ∩ W

w sono scrivendo come comb. lineare dei vettori di un

w = Δ₁v₁+...+Δ_mv_m ma w := Θ_m+1w_m+1 + ...+Θ_sw_s

Θ_m+1 w_m+1+...+Θ_sw_s-Δ₁v₁-...-Δ_mv_m=0

Ma {v₁,...,v_m,w_m+1,...,w_s} è base di W e per def. sono lin. indi.:

Di conseguenza Θ_i ∀i∈(m+1,...,s)=0 ∀Δ∈(1,...,m)=0

Con lo stesso procedimento si ottiene che anche β_i ∀i∈(m+1,..,r)=0 ∪v∪W è lin. indi.

Dimostrare che il nucleo di un’applicazione lineare è un sottospazio

Dimostrazione

3) Dimostrare che il nucleo di un’applicazione lineare è un sottospazio

Ker = {v∈V| f (v )=0_v} Ker ⊆ V ?☷

f(0_v)=0_x perché f è lineare quindi 0_v∈Ker

∃ v=0_v

1) v₁, v₂ ∈ Ker cioè (v₁) = o_v e (v₂) = o_v

v₁ + v₂ ∈ Ker perché (v₁ + v₂) = (v₁) + (v₂) = o_v + o_v = o_v

2) dato v ∈ Ker cioè (v) = o_v e a ∈ IR

a · v ∈ Ker (a · v) ∈ Ker ⇒ a · (v) ∈ Ker ⇒⇒ a · o_v = o_v ∈ Ker

Dimostrare che l’immagine di un’applicazione lineare è un sottospazio

Dimostrazione

4) Dimostrare che l’immagine di un’applicazione lineare è un sottospazio

1) o_w ∈ Im perché o_w = (o_v) perché è lineare

1) (v₁), (v₂) ∈ Im (v₁) + (v₂) = (v₁ + v₂) ∈ Im

2) a ∈ IR (v) ∈